Родился 9 марта 1944 г. в гор. Коломне (Московская область).
В 1971 г. окончил актерский факультет Государственного института театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне - Российский институт театрального искусства - ГИТИС). Выпускник курса народного артиста РСФСР Павла Хомского (1925-2016).
После окончания вуза был принят в актерскую труппу Московского театра юного зрителя. В качестве режиссера поставил спектакль "Как дела, молодой человек" по повести Шандора Тота. После этого его пригласил к себе на работу директор Ростовского театра юного зрителя Александр Филиппов.
В 1973-1977 гг. Юрий Еремин был главным режиссером Ростовского ТЮЗа. Осуществил постановки: "Аленький цветочек" по сказке Сергея Аксакова, "Парень из нашего города" по пьесе Константина Симонова, "В поисках радости" по произведению Виктора Розова, "Три сестры" по пьесе Антона Чехова и др.
В 1978-1980 гг. являлся главным режиссером Ростовского академического театра драмы им. М. Горького. Поставил в нем спектакли: "Последний срок" по произведению Валентина Распутина, "Аэропорт" по роману Артура Хейли, "Жестокие игры" по пьесе Алексея Арбузова, "Мы, нижеподписавшиеся…" по произведению Александра Гельмана, "Дом с мезонином" по рассказу Антона Чехова, "Судьба человека" по произведению Михаила Шолохова, "Последние" по пьесе Максима Горького и др.
В 1982-1988 гг. - главный режиссер Центрального академического театра Советской армии (ныне - Центральный академический театр Российской армии, Москва). Поставил в нем спектакли "Идиот" по роману Федора Достоевского, "Старик" по пьесе Максима Горького и др.
С 1988 по 2000 г. Юрий Еремин был главным режиссером Московского драматического театра им. А. С. Пушкина. Осуществил в нем постановки: "Палата №6" по повести Антона Чехова, "Бесы" по роману Федора Достоевского, "Светит, да не греет" по пьесе Александра Островского и Николая Соловьева, "Царь Эдип" по трагедии Софокла, "Призраки" по комедии Эдуардо де Филиппо, "Эрик XIV" по пьесе Августа Стриндберга и др.
С 2000 г. по н. в. Юрий Еремин является режиссером Московского государственного академического театра им. Моссовета. В 2016 г., после смерти художественного руководителя Павла Хомского, вместе с народными артистами РСФСР Андреем Кончаловским (род. 1937) и Сергеем Юрским (1935-2019) вошел в режиссерскую коллегию театра. Среди постановок Юрия Еремина: "У врат царства" по пьесе Кнута Гамсуна, "Мадам Бовари" по роману Гюстава Флобера, "Серебряный век" по пьесе Михаила Рощина, "Муж, жена и любовник" по произведениям Федора Достоевского и Ивана Тургенева, "Учитель танцев" по пьесе Лопе де Веги и др.
В текущем репертуаре представлены его спектакли: "Идиот" по роману Федора Достоевского, "Baden-Баден" по мотивам романа Ивана Тургенева "Дым", "Царство отца и сына" по драматическим произведениям Алексея Толстого, "Р. Р. Р." по мотивам романа Федора Достоевского "Преступление и наказание", а также "Морское путешествие 1933 года" на тему фильма Стэнли Крамера "Корабль дураков" и "Casting/Кастинг" по собственной пьесе. 23 февраля 2019 г. в Театре им. Моссовета состоялась премьера спектакля Юрия Еремина "Герой нашего времени" по мотивам романа Михаила Лермонтова.
В 2000-х гг. Юрий Еремин сотрудничал с Московским художественным театром им. А. П. Чехова. Поставил на его сцене спектакли: "Последняя жертва" по пьесе Александра Островского, "Возвращение" по рассказу Андрея Платонова, "Женщина с моря" по пьесе Генрика Ибсена и др.
Юрий Еремин ведет преподавательскую деятельность на кафедре режиссуры Театрального института им. Бориса Щукина при Государственном академическом театре им. Евгения Вахтангова.
Народный артист РСФСР (1986).
Награжден орденами Дружбы (1997) и Почета (2014).
Лауреат премии гор. Москвы в области литературы и искусства (2004).