Родился 31 марта 1993 г. в станице Нестеровская (Сунженский район, Республика Ингушетия).
Выпускник Великолукской государственной академии физической культуры и спорта.
Студент магистратуры Кубанского государственного университета физической культуры, спорта и туризма (Краснодар).
В подростковом возрасте Муса Евлоев начал заниматься в секции греко-римской борьбы в станице Орджоникидзевская (ныне г. Сунжа, Республика Ингушетия). Его первым тренером был Алихан Хамхоев. В 2008 г. продолжил совершенствовать мастерство в Калининградском училище (техникуме) олимпийского резерва под руководством заслуженного тренера России Владимира Хромова. В первой половине 2010-х гг. переехал в Москву и стал заниматься в Колледже физической культуры и спорта "Спарта", где его наставником стал заслуженный тренер РФ Давид Кадилов.
В 2012 г. в Загребе (Хорватия) Муса Евлоев выиграл юниорское первенство Европы в весовой категории до 96 кг. В 2013 г. в Скопье (Северная Македония) повторил это достижение.
В 2013 г. в Софии (Болгария) стал победителем юниорского первенства мира в весовой категории до 96 кг.
С 2013 г. Муса Евлоев выступает за взрослую сборную России.
В 2017 г. в Париже (Франция) получил серебро чемпионата мира в весовой категории до 98 кг. В 2018 г. в Будапеште (Венгрия) и в 2019 г. в Нур-Султане (Казахстан) становился чемпионом мира в весовой категории до 97 кг.
В 2019 г. в Бухаресте (Румыния) выиграл чемпионат Европы в весовой категории до 97 кг. В 2021 г. в Варшаве (Польша) повторил это достижение.
В 2019 г. на VII Всемирных военных играх в Ухане (Китай) первенствовал на турнире по греко-римской борьбе в весовой категории до 97 кг.
3 августа 2021 г. стал чемпионом XXXII летних Олимпийских игр в Токио (Япония) в весовой категории до 97 кг. В финале победил Артура Алексаняна (Армения).
Муса Евлоев является трехкратным чемпионом России по греко-римской борьбе (2014, 2017, 2018).
Заслуженный мастер спорта России (2019). Лейтенант Вооруженных сил РФ.
Награжден орденом Дружбы (2021).