Родился 29 января 1959 г. в с. Агинском Агинского Бурятского национального (с 1977 г. - автономного) округа Читинской области (ныне Забайкальский край).
В 1980 г. окончил историко-филологический факультет Читинского государственного педагогического института им. Н. Г. Чернышевского (ныне в составе Забайкальского государственного университета), получив квалификацию "учитель истории и обществоведения средней школы", в 1993 г. - Российскую академию управления (ныне Российская академия государственной службы при президенте РФ), с присвоением квалификации "юрист, эксперт-советник по государственному управлению".
Кандидат политических наук. В 1999 г. защитил диссертацию "Национальная политика современной России: становление и перспективы".
С 1980 по 1981 г. - учитель истории и обществоведения Улан-Одонской средней школы в с. Ортуй Могойтуйского района Агинского Бурятского автономного округа (АО).
В 1981-1991 гг. работал в комсомольских и партийных органах Читинской области. В 1981-1985 гг. — инструктор, заместитель заведующего отделом спортивной и оборонно-массовой работы Читинского обкома ВЛКСМ. В 1985-1988 гг. — второй, первый секретарь Агинского Бурятского окружного комитета ВЛКСМ. В 1988-1990 гг. — второй секретарь Читинского обкома ВЛКСМ. В 1990-1991 гг. — второй секретарь Агинского Бурятского окружкома КПСС.
С августа 1991 г. по декабрь 1993 г. - заместитель главы администрации Агинского Бурятского АО, постоянный представитель округа при правительстве РФ.
С 1993 по 1997 г. - депутат Государственной думы РФ I и II созывов. 12 декабря 1993 г. был избран в Госдуму РФ I созыва по Агинскому Бурятскому избирательному округу №215, баллотировался от группы избирателей. В Думе I созыва с января 1994 г. был председателем комитета по делам национальностей. До марта 1995 г. являлся членом депутатской группы "Новая региональная политика", затем - депутатской группы "Стабильность". 17 декабря 1995 г. стал депутатом Госдумы РФ II созыва, выдвинут группой избирателей по Агинскому Бурятскому избирательному округу №215. На выборах набрал 38,23% голосов, второе место занял вице-президент улан-удинской фирмы "Мотом" Баир Тушимилов (36,95%). В нижней палате парламента Баир Жамсуев был заместителем председателя комитета по делам национальностей, членом депутатской группы "Российские регионы". В 1996 г. возглавлял комиссию Госдумы по содействию в преодолении последствий осетино-ингушского конфликта. Депутатские полномочия были прекращены досрочно в 1997 г.
23 февраля 1997 г. на повторных выборах Баир Жамсуев был избран главой администрации Агинского Бурятского АО. Получил 44,56% голосов избирателей. За его основного соперника, бывшего главу администрации Дульдургинского района Юрия Дондокова, проголосовали 33,03% (оба кандидата были выдвинуты группами избирателей).
29 октября 2000 г. вновь переизбран на должность главы администрации округа, набрав 89,34% голосов (баллотировался от группы избирателей). Второе место занял Бабу-Доржи Базаров, директор Челутайской средней школы (2,67%; баллотировался от группы избирателей).
7 сентября 2005 г. президент России Владимир Путин внес кандидатуру Баира Жамсуева на рассмотрение окружной Думы для наделения его полномочиями главы округа. 15 сентября 2005 г. депутаты Агинской Бурятской думы единогласно утвердили Баира Жамсуева главой администрации региона. В тот же день он вступил в должность. Его полномочия были прекращены в 2008 г. после объединения Агинского Бурятского автономного округа и Читинской области в Забайкальский край.
С марта 1997 г. по февраль 2001 г. входил в состав Совета Федерации РФ в качестве представителя Агинского Бурятского АО по должности (как глава округа). С апреля по октябрь 1997 г. - член комитета по бюджету, налоговой политике, финансовому, валютному и таможенному регулированию, банковской деятельности, с октября 1997 г. по февраль 2001 г. - член комитета по делам Федерации, Федеративному договору и региональной политике.
В апреле 2008 г. стал помощником руководителя Администрации президента РФ Сергея Собянина, с мая 2008 г. - Сергея Нарышкина. Занимал должность до февраля 2010 г.
В 2010-2013 гг. - главный федеральный инспектор по Забайкальскому краю аппарата полномочного представителя президента РФ в Сибирском федеральном округе (полпредство возглавлял Виктор Толоконский). Был также помощником губернатора Забайкальского края Равиля Гениатулина.
С 18 сентября 2013 г. - член Совета Федерации РФ (сенатор), представитель от исполнительного органа государственной власти Забайкальского края (вновь наделен полномочиями 19 сентября 2019 г.). С марта 2014 г. - заместитель председателя комитета Совета Федерации по обороне и безопасности.
Награжден орденами Дружбы (1999), Почета (2007), Александра Невского (2017), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2023). Отмечен благодарностью президента и двумя благодарностями правительства РФ, Почетной грамотой правительства РФ. Награжден государственными наградами Монголии: орденами "Полярная звезда" (2006) и Трудового Красного Знамени (2014).
Имеет также орден Русской православной церкви Святого благоверного князя Даниила Московского II степени (2005).
Почетный гражданин Читинской области, Агинского Бурятского и Усть-Ордынского Бурятского автономных округов, городского округа "Агинское".