Родился 11 июля 1976 г. в Ялте (Крымская АССР, ныне Республика Крым, РФ) в семье Вальтера Михайловича (1928-2007) и Татьяны Васильевны (род. 1956) Запашных. Его отец был цирковым дрессировщиком, народным артистом РСФСР. Мать в настоящее время является заместителем гендиректора Большого Московского государственного цирка на проспекте Вернадского.
В 2004 г. Эдгард Запашный окончил в Москве Русский институт управления им. В. П. Чернова (прекратил деятельность в 2016 г.) по специальности "Менеджмент организации", в 2011 г. - Российский государственный социальный университет (Москва) по специальности "Юриспруденция".
На цирковой арене дебютировал в 1988 г. в Риге (Латвийская ССР, ныне Латвийская Республика). Занимался дрессурой хищников, джигитовкой (скачка на лошади, в ходе которой наездник выполняет акробатические и гимнастические трюки), акробатикой и жонглированием.
В 1991 г. вместе с родителями и младшим братом Аскольдом на несколько лет уехал в Китай, где семье Запашных был предложен рабочий контракт. Для их выступлений принимающая сторона построила летний цирк рядом с гор. Шэньчжэнем (провинция Гуандун).
Вернувшись в Россию в 1996 г., Эдгард Запашный вместе с семьей начал гастролировать по стране, представляя различные цирковые номера.
В 2003 г. вместе с братом создал ООО "Цирк братьев Запашных", выпустившее шоу "Колизей" (2007), "Камелот" (2008), "Садко" (2009), "Легенда" (2011), "К.У.К.Л.А." (2012), "Страшная сила" (2013) и др.
В разные годы выступал с гастролями в Белоруссии, Казахстане, Венгрии, Японии и др.
В 2011 г. один из трюков артиста был занесен в Книгу рекордов Гиннесса - он проехал 20 метров, стоя на паре лошадей и удерживая на плечах двух артисток.
С 20 ноября 2012 г. Эдгард Запашный занимает пост генерального директора Большого Московского государственного цирка на проспекте Вернадского. Он совмещает административную работу с выступлениями на арене.
Является автором и ведущим программы "Легенды цирка" на телеканале "Звезда".
Генеральный продюсер и ведущий всемирного фестиваля циркового искусства "Идол", проходящего в Москве с 2013 г.
В 2012 и 2018 гг. Эдгард Запашный являлся доверенным лицом кандидата в президенты РФ Владимира Путина. В январе 2024 г. был вновь зарегистрирован в качестве доверенного лица кандидата на пост главы государства Владимира Путина (президентские выборы пройдут в РФ в марте 2024 г.).
Член Совета при президенте РФ по культуре и искусству, центрального штаба "Общероссийского народного фронта", общественного совета при комитете Госдумы РФ по культуре.
Народный артист РФ (2012).
Награжден орденом Дружбы (2019).
Лауреат премии правительства РФ в области культуры 2024 г.
Выпустил книги "Мои друзья тигры" (2011), "Как мы дрессируем собак" (2008, в соавторстве с братом) и "Тайна цирка" (2018, в соавторстве с Никитой Замеховским-Мегалокарди). Вместе с братом и писательницей Анастасией Такки издал фантастические произведения "Камелот. Осколки легенд" (2009) и "Камелот-2. Наместник Богов" (2010).
Дочери - Стефания (род. 2011) и Глория (род. 2013), сын - Даниэль (род. 2017). Брат - народный артист РФ Аскольд Запашный (род. 1977, художественный руководитель Большого Московского государственного цирка на проспекте Вернадского).