Родился 13 октября 1988 г. в Москве.
В 2010 г. окончил Российский университет дружбы народов (РУДН).
Кандидат исторических наук. В 2016 г. в РУДН защитил диссертацию на тему "Исторический опыт нефтегазовой дипломатии России в СНГ на рубеже XX - XXI веков".
С 2012 г. работал в администрации губернатора и правительства Брянской области, был помощником члена Совета Федерации РФ от исполнительной власти региона Михаила Марченко.
В 2013 г. баллотировался от политической партии ЛДПР в состав Архангельского облсобрания депутатов, Ярославскую областную думу и др., однако депутатский мандат не получал.
С 7 октября 2014 г. - в аппарате Государственной думы РФ, в аппарате фракции ЛДПР (лидер ЛДПР - Владимир Жириновский).
18 сентября 2016 г. участвовал в выборах в Государственную думу РФ VII созыва по единому федеральному округу в составе списка кандидатов ЛДПР. Баллотировался под седьмым номером в региональной группе №131 по г. Москве. По итогам распределения мандатов в Думу не прошел.
17 октября 2016 г. был назначен руководителем аппарата фракции ЛДПР в Госдуме VII созыва.
В феврале 2018 г. вошел в состав т. н. правительства Владимира Жириновского, которое лидер ЛДПР намерен был сформировать в случае своей победы на президентских выборах. Максим Зайцев занял в списке пост главы администрации президента.
С 2019 г. - депутат Государственной думы РФ VII созыва, член фракции ЛДПР. 25 сентября 2019 г. ЦИК России передал Максиму Зайцеву вакантный депутатский мандат, освободившийся в связи с переходом члена фракции ЛДПР Данила Шилкова в Счетную палату РФ. 2 октября он был зарегистрирован депутатом Госдумы. Заместитель председателя комитета Госдумы по образованию и науке.
19 сентября 2021 г. участвовал в выборах депутатов Государственной думы РФ VIII созыва от партии ЛДПР. Баллотировался под первым номером в составе региональной группы №27 (Калмыкия, Ставропольский край, Астраханская обл.) и по Георгиевскому одномандатному избирательному округу №68 (Ставропольский край). В Думу не прошел.