Родился 13 июля 1969 г. в Лабинске (Краснодарский край). Через несколько месяцев семья переехала в Тбилиси (Грузинская ССР, ныне - Грузия).
В 1987 г. Игорь Зеленский окончил Тбилисское хореографическое училище, где его педагогом был народный артист СССР Вахтанг Чабукиани. В 1987-1988 гг. проходил стажировку в Ленинградском академическом хореографическом училище им. А. Я. Вагановой (ныне - Академия русского балета им. А. Я. Вагановой, Санкт-Петербург) в классе педагога Геннадия Селюцкого.
В 1988 г. был принят в балетную труппу Ленинградского академического театра оперы и балета им. С. М. Кирова (ныне - Государственный академический Мариинский театр, Санкт-Петербург), в 1991 г. стал солистом. Исполнил на сцене театра несколько десятков партий. В их числе: Базиль в "Дон Кихоте" и Солор в "Баядерке" Людвига Минкуса, Зигфрид в "Лебедином озере" и Принц в "Щелкунчике" Петра Чайковского, Альберт в "Жизели" Адольфа Адана, Ромео в "Ромео и Джульетте" Сергея Прокофьева.
В 1990-1992 гг. Игорь Зеленский был приглашенным солистом Немецкой оперы (Берлин).
В 1992-1997 гг. - премьер американской балетной труппы "Нью-Йорк сити балле". Преимущественно был задействован в балетах хореографа Джорджа Баланчина ("Тема с вариациями" на музыку Петра Чайковского, "Аполлон Мусагет" на музыку Игоря Стравинского, "Четыре темперамента" на музыку Пауля Хиндемита).
В 1997-2001 гг. - солист Лондонского королевского балета (Великобритания).
В 2000 г. Игорь Зеленский был главным приглашенным солистом Государственного академического Большого театра. Исполнял на его сцене ведущие партии в балетах "Баядерка" и "Лебединое озеро".
В 2001-2006 гг. - ассистент директора и балетмейстер-постановщик Национальной оперы Греции.
В 2006-2016 гг. Игорь Зеленский являлся художественным руководителем балета Новосибирского государственного академического театра оперы и балета. Исполнял партии в балетах "Бессмертие в любви" на музыку Филиппа Гласса и "Не все ли равно?" на музыку Джорджа Гершвина. В 2007 г. поставил балет "Баядерка" и исполнил в нем партию Солора. Был инициатором проведения Сибирского фестиваля балета (проводился ежегодно в 2008-2014 гг.).
В 2011-2016 гг. также занимал должность художественного руководителя балетной труппы Московского академического музыкального театра им. К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко.
С сентября 2016 г. по апрель 2022 г. Игорь Зеленский являлся художественным руководителем Баварского государственного балета (Германия).
Член наблюдательного совета Фонда проектов социального и культурного назначения "Национальное культурное наследие".
Народный артист РФ (2008).
Обладатель Гран-при Международного конкурса артистов балета в Париже (Франция, 1990).
Лауреат российской театральной премии "Золотая маска" в номинации "Мужская роль в балете" (2009, Солор в "Баядерке", Новосибирский театр оперы и балета).