Родился 5 декабря 1940 г. в Москве. Его отец был сотрудником авиазавода. Мать работала в системе общественного питания. Во время Великой Отечественной войны Борис Игнатьев проживал с семьей в эвакуации в г. Горьком (ныне Нижний Новгород). В 1945 г. они вернулись в столицу. В 1947 г. мать погибла от удара молнии, Бориса Игнатьева воспитывали отец и мачеха.
Борис Игнатьев начал заниматься футболом в середине 1950-х гг. Воспитанник юношеской команды московского "Спартака". В конце 1950-х гг. занимался в Футбольной школе молодежи. Игровая позиция - полузащитник.
На протяжении карьеры выступал за дублирующий состав столичного "Динамо" (1960), ижевский "Зенит" (1960-1961), горьковские "Ракету" (1962) и "Волгу" (1963-1967), махачкалинское "Динамо" (1968-1969), "Метеор" (Жуковский, 1970), "Динамо" (Целиноград, 1971) и уфимский "Строитель" (1972).
Завершил игровую карьеру в 1972 г.
В начале 1970-х гг. Борис Игнатьев окончил школу тренеров при Государственном центральном институте физической культуры (ныне Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма, ГЦОЛИФК).
В 1974-1975 гг. возглавлял владимирское "Торпедо".
С 1976 по 1989 г. - тренер, главный тренер юношескую сборную СССР. Под его руководством команда выиграла чемпионат Европы 1988 г. (турнир проходил в Чехословакии).
В 1989-1990 гг. Борис Игнатьев тренировал клуб "Аль-Ахли" (Дубай, ОАЭ). Работал по контракту внешнеторгового объединения "Совинтерспорт".
В 1990 г. возглавлял олимпийскую сборную Ирака.
В 1990-1991 гг. тренировал олимпийскую сборную СССР, в 1992-1993 гг. - молодежную сборную России.
В 1992-1996 гг. входил в тренерский штаб сборной России (до 1994 г. команду возглавлял Павел Садырин, затем - Олег Романцев). В 1995 г. также тренировал клуб "Аль-Иттихад" (Джидда, Саудовская Аравия).
С 1996 по 1998 г. Борис Игнатьев был главным тренером сборной России. Под его руководством команда провела 20 игр (одержала восемь побед, восемь раз сыграла вничью и четыре раза уступила).
В 1998-2000 гг. возглавлял "Торпедо-ЗИЛ" (Москва), в 2001 г. - "Шаньдун Лунэн" (Цзинань, Китай), в 2004 г. - "Сатурн" (Московская область).
В 2005-2006 гг. Борис Игнатьев был спортивным директором московского "Динамо".
В 2007-2008 гг. - старший тренер подмосковного "Сатурна".
В 2009-2012 гг. работал помощником Юрия Семина, возглавлявшего киевское "Динамо" (2009, 2010-2012) и московский "Локомотив" (2009-2010).
В 2012-2013 гг. Борис Игнатьев был главным тренером московского "Торпедо". В 2013-2014 гг. занимал в этом клубе должность вице-президента - спортивного директора, в 2014-2018 гг. - вице-президента.
С сентября 2019 г. - член технического комитета Российского футбольного союза (РФС). Также входит в состав комитета детско-юношеского футбола РФС и комитета сборных команд РФС.
Борис Игнатьев регулярно проводит семинары в Центре по подготовке детско-юношеских тренеров по футболу им. К. И. Бескова (Москва).
Заслуженный тренер РСФСР (1978).
Награжден орденом Дружбы (1997).
Женат. Супруга - Ирина Ивановна. Сын - Геннадий, выпускник Череповецкого высшего военного инженерного училища радиоэлектроники (ныне Военный университет радиоэлектроники), с 1990-х гг. проживает и работает в Германии. Младший брат - Виктор Игнатьев (1942-2005) - был журналистом, пресс-атташе хоккейного клуба "Северсталь" (Череповец).