Родился 9 октября 1938 г. в селе Тутура (Жигаловский район Иркутской обл.). Школу окончил в г. Пушкин Ленинградской области (ныне в составе Пушкинского района Санкт-Петербурга).
После школы Радий Илькаев поступил на физико-механический факультет Ленинградского политехнического института (ныне Физико-механический институт Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого), где проучился два года. Затем перевелся на физический факультет Ленинградского государственного университета (ЛГУ, ныне Санкт-Петербургский государственный университет), который окончил в 1961 г. по специальности "теоретическая физика".
Доктор физико-математических наук. В 1968 г. защитил кандидатскую диссертацию, в 1980 г. - докторскую диссертацию (работы были посвящены ядерным узлам термоядерного заряда).
В 2000 г. Радий Илькаев был избран членом-корреспондентом Российской академии наук (РАН), в 2003 г. - академиком РАН.
После окончания ЛГУ по распределению был направлен в Конструкторское бюро №11 Министерства среднего машиностроения СССР, находящееся в закрытом городе Арзамас-16 Горьковской области (ныне Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, РФЯЦ-ВНИИЭФ; г. Саров, Нижегородская обл.). С тех пор работает на этом предприятии (в н. в. РФЯЦ-ВНИИЭФ входит в систему Росатома).
С августа 1961 г. по 1988 г. работал в теоретическом отделении КБ-11 (с 1967 г. - Всесоюзный научно-исследовательский институт экспериментальной физики). В 1988-1993 гг. - начальник ведущего конструкторского отделения, заместитель, затем первый заместитель главного конструктора института.
В 1993 г. был назначен первым заместителем научного руководителя РФЯЦ-ВНИИЭФ Виктора Михайлова.
Одновременно с 1996 по 2008 г. являлся директором РФЯЦ-ВНИИЭФ (сменил в должности Владимира Белугина). Под руководством Радия Илькаева была проведена реструктуризация федерального ядерного центра.
С января 2008 г. по 2016 г. - научный руководитель, с 2017 г. по н. в. - почетный научный руководитель РФЯЦ-ВНИИЭФ.
Заведует кафедрой электронных измерительных систем в Национальном исследовательском ядерном университете "МИФИ" (с 2011 г.) и кафедрой теоретической физики в Саровском физико-техническом институте, филиале МИФИ. Также является заведующим кафедрой проблем инерционного термоядерного синтеза в Московском физико-техническом институте (национальном исследовательском университете).
Член бюро отделения физических наук Российской академии наук, член Российского Пагуошского комитета при президиуме РАН.
Входит в состав Патриаршего совета по культуре Русской православной церкви (с 2010 г.). Член попечительского совета Благотворительного фонда преподобного Серафима Саровского.
Радий Илькаев - специалист в области теоретической и экспериментальной ядерной физики, автор и соавтор свыше 600 научных трудов по оборонной тематике. Он внес существенный вклад в развитие физико-математических методов, связанных с созданием ядерного оружия и развитием оружейных систем. Является одним из авторов оригинального метода определения энерговыделения ядерных зарядов. Предложил оригинальные физические решения, но основе которых под его руководством были созданы новые специальные изделия (термоядерные заряды), в том числе заряды переменной мощности с повышенными специальными поражающими факторами. Также под руководством Илькаева были разработаны новые меры повышения безопасности ядерных зарядов.
Лауреат Государственных премий СССР (1968, 1981) и РФ (1994), Государственной премии РФ имени Маршала Советского Союза Г. Жукова (2012), премии правительства РФ (2006), Демидовской премии (2021).
Полный кавалер ордена "За заслуги перед Отечеством" (I степень была присуждена в 2022 г.). Награжден орденом Почета (2004), имеет благодарности президента РФ (1998, 2003, 2024).
РАН наградила ученого Золотой медалью им. А. Д. Сахарова (2006, за "Комплекс теоретических и экспериментальных работ по изучению и управлению ядерно-физическими и гидродинамическими процессами в плазме с высокими концентрации энергии").
Заслуженный деятель науки РФ (1999). Почетный гражданин Сарова (2006), Нижегородской области (2007), Республики Мордовия (2012).