Родился 12 января 1964 г. в п. Батагай Верхоянского района Якутской АССР.
В 1986 г. окончил Ленинградский горный институт имени Г.В. Плеханова (ныне Национальный минерально-сырьевой университет "Горный"), в 1994 г. - Академию народного хозяйства при Правительстве РФ (ныне в составе Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ), получил квалификацию менеджера высшей категории.
Кандидат экономических наук, в 1998 г. защитил диссертацию по теме "Экономическая эффективность разработки золота и оловорудных месторождений различных геолого-промышленных типов".
С 1978 г. работал на Депутатском горно-обогатительном комбинате (ГОК; Якутия), с 1986 г. был участковым геологом, старшим геологом ГОКа. В 1988 г. возглавлял геолого-разведочную экспедицию, в 1992 г. был назначен главным инженером предприятия.
В 1998–1999 гг. — первый заместитель министра промышленности Республики Саха (Якутия).
В 1999 г. был назначен первым заместителем руководителя администрации президента Республики Саха (Якутия) Михаила Николаева.
В 2000–2009 гг. занимал должность генерального директора ОАО "Якутскэнерго". Затем, до 2011 г. был советником генерального директора ОАО "РАО ЭС Востока". В 2011 г. возглавил энергостроительную компанию ООО "Якутское".
Дважды избирался народным депутатом Государственного собрания (Ил Тумэн) Якутии по Усть-Майскому округу (2002, 2008).
4 декабря 2011 г. избран депутатом Государственной думы Федерального собрания РФ шестого созыва в составе регионального списка от Республики Бурятия партии "Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь". Вошел в состав фракции "Справедливая Россия". Член Комитета по энергетике. Депутатские полномочия были прекращены досрочно 15 марта 2013 г. в связи с назначением главой Забайкалья.
28 февраля 2013 г. указом президента РФ Владимира Путина Константин Ильковский был назначен врио губернатора Забайкальского края до вступления в должность лица, избранного губернатором. Сменил на посту Равиля Гениатулина, который возглавлял Читинскую область с 1996 г., а после ее объединения с Агинским Бурятским автономным округом в 2008 г. - Забайкальский край.
8 сентября 2013 г. избран губернатором Забайкальского края (выдвинут от партии "Справедливая Россия"), получив поддержку 71,63% избирателей. Его ближайший конкурент, гендиректор горнорудного комбината "Быстринское" Николай Мерзликин (КПРФ) набрал 11,74% голосов. Константин Ильковский вступил в должность 18 сентября 2013 г.
17 февраля 2016 г. президент РФ Владимир Путин подписал указ о досрочном прекращении полномочий губернатора Забайкальского края Константина Ильковского в соответствии с его личным заявлением. 17 февраля 2016 г. врио главы региона была назначена Наталья Жданова.
Доход за 2014 г. составил 123 млн 507 тыс. руб., его супруги - 446 тыс. руб.
Заслуженный работник народного хозяйства Республики Саха (Якутия). Почетный гражданин Усть-Майского и Усть-Янского улусов (2006).
Лауреат Государственной премии Республики Саха (Якутия) в области материального производства.