Родилась 27 июня 1894 г. (15 июня по старому стилю) в Ставрополе в семье казначея духовной консистории (орган епархиального управления) Михаила Павловича Иванова и его супруги Елены Николаевны, урожденной Данишевской.
В 1913 г. окончила Ольгинскую гимназию в Ставрополе.
Осенью того же года начала работать народной учительницей в земской школе села Петровское Благодарненского уезда Ставропольской губернии (ныне – Ставропольский край).
В 1914 г., с началом Первой мировой войны, вернулась в Ставрополь и поступила на курсы сестер милосердия, организованные губернским комитетом Всероссийского Земского союза. 7 сентября 1914 г. (здесь и далее все даты до 1918 г. по старому стилю) была направлена сестрой милосердия в Ставропольский епархиальный госпиталь №2.
17 января 1915 г. Римма Иванова ушла добровольцем на фронт. Служила санитаром в 83-м Самурском пехотном полку. Первоначально официально числилась в списках личного состава под мужским именем "Иван Михайлович Иванов", позднее - под своей настоящей фамилией.
В августе 1915 г. по настоянию отца перешла на службу в 105-й Оренбургский пехотный полк, где полковым врачом был ее старший брат Владимир. В период службы занимала должности добровольца-санитара и фельдшера, работала на передовых перевязочных пунктах, а также непосредственно на поле боя. За девять месяцев вынесла с передовой около шестисот раненых солдат. Была награждена знаком отличия Военного ордена Святого Георгия (Георгиевский крест) IV степени, а также Георгиевскими медалями III и IV степеней за вынос с поля боя раненых и восстановление поврежденной линии связи.
9 сентября 1915 г. 105-й Оренбургский полк начал наступление на германские позиции у села Доброславка Пинского уезда Минской губернии (ныне - Пинский район Брестской области Белоруссии). Во время атаки погибли офицеры 10-й роты полка, где служила Иванова, и наступление подразделения остановилось. В этот момент сестра милосердия, перевязывавшая раненных на поле боя, "собрала к себе солдат и, бросившись вперед вместе с ними, взяла неприятельские окопы". В этой атаке Римма Иванова была смертельно ранена разрывной пулей в бедро и вскоре скончалась. Ей был 21 год.
17 сентября 1915 г. указом российского императора Николая II по представлению личного состава 105-го полка сестра милосердия Римма Михайловна Иванова была посмертно награждена орденом Святого Георгия IV степени. Она стала единственной женщиной в российской истории, удостоенной этой награды за мужество проявленное в бою.
26 сентября 1915 г. Римма Иванова была с воинскими почестями похоронена в Ставрополе возле Андреевской церкви (в советский период ее могила была уничтожена).
Память о подвиге в Российской империи
В годы Первой мировой войны о подвиге Риммы Ивановой много писала русская пресса, в 1915 г. был снят художественный фильм о ней (режиссер Александр Варягин, фильм утрачен), также выпущена граммофонная пластинка с песней "Подвиг Риммы Ивановой".
В Ставропольской губернии в память сестры милосердия местные власти учредили стипендии ее имени в фельдшерской школе, Ольгинской женской гимназии и земском училище с. Петровского.
Имя Риммы Ивановой было увековечено на памятнике героям Великой войны (т. е. Первой мировой), открытом в 1916 г. в г. Вязьме Смоленской губернии (в советское время памятник был снесен).
Память в современной России и Белоруссии
В 1994 г. в память Риммы Ивановой в Ставрополе на здании бывшей Ольгинской гимназии (ныне - школа-интернат для глухих детей) была установлена мемориальная доска. Тогда же у Андреевской церкви на предполагаемом месте могилы сестры милосердия было восстановлено надгробие.
В 2013 г. по сценарию историка Вячеслава Бондаренко белорусскими кинематографистами был снят документальный фильм "Святая Римма" (режиссер - Валерий Карпов).
В 2014 г. в Белоруссии на месте гибели сестры милосердия в деревне Мокрая Дубрава Пинского района Брестской области был установлен мемориальный знак, а на здании Свято-Троицкой церкви в селе Доброславка - мемориальная доска.
В 2016 г. Римме Ивановой было посмертно присвоено звание почетного гражданина города Ставрополя. В том же году памятник героине работы скульптора Андрея Голуба был открыт в Ставрополе на Аллее почетных граждан города.
В 2017 г. бюст Риммы Ивановой был установлен в г. Михайловске Cтавропольского края, в 2018 г. - у здания бывшей Ольгинской женской гимназии в Ставрополе.