Родился 10 июля 1991 г. в Москве.
Выпускник Московской государственной академии физической культуры.
Никита Кацалапов начал заниматься одиночным фигурным катанием в четыре года под руководством матери, которая в прошлом была профессиональной спортсменкой. В дальнейшем тренировался в специализированной детско-юношеской школе олимпийского резерва "Сокольники" под руководством Марины Друзик и в спортивной школе олимпийского резерва "Москвич", где его наставницей была Наталья Дубинская.
В 2005 г. перешел в танцы на льду. С 2008 г. постоянно выступал в этом виде вместе с Еленой Ильиных под руководством тренера Александра Жулина.
В феврале 2010 г. в Саранске Никита Кацалапов и Елена Ильиных стали серебряными медалистами юниорского первенства России. В марте того же года в Гааге (Нидерланды) выиграли юниорский чемпионат мира.
В декабре 2010 г. в Саранске заняли третье место на чемпионате России. В декабре 2011 г. там же стали серебряными призерами первенства страны.
В январе 2012 г. в Шеффилде (Великобритания) завоевали бронзу чемпионата Европы. В декабре того же года в Сочи заняли второе место на чемпионате России.
В январе 2013 г. в Загребе Никита Кацалапов и Елена Ильиных стали серебряными медалистами первенства Европы. В декабре того же года в Сочи вновь завоевали серебро чемпионата России.
В январе 2014 г. в Будапеште (Венгрия) заняли второе место на чемпионате Европы. В феврале того же года на XXII зимней Олимпиаде в Сочи завоевали золото в командном турнире, а также бронзу в танцах на льду как отдельном виде программы.
С сезона 2014/2015 гг. Никита Кацалапов выступает в танцах на льду вместе с Викторией Синициной.
В декабре 2015 г. в Екатеринбурге они выиграли серебро чемпионата России. В декабре 2016 г. в Челябинске завоевали бронзовые медали первенства страны.
С 2017 г. тренируются под руководством Александра Жулина.
В декабре 2018 г. в Саранске Виктория Синицина и Никита Кацалапов стали чемпионами России. В декабре 2019 г. в Красноярске повторили это достижение.
В марте 2019 г. в Сайтаме (Япония) заняли второе место на чемпионате мира. В апреле того же года в Фукуоке (Япония) в составе сборной России стали бронзовыми призерами командного чемпионата мира.
В январе 2020 г. в Граце (Австрия) Виктория Синицина и Никита Кацалапов завоевали золото чемпионата Европы. В январе 2022 г. в Таллине повторили это достижение.
В марте 2021 г. в Стокгольме стали чемпионами мира. В апреле того же года в Осаке в составе сборной России заняли первое место на командном чемпионате мира.
7 февраля 2022 г. стали чемпионами XXIV зимних Олимпийских игр в Пекине (Китай) в командном турнире. 14 февраля завоевали серебро Игр в парном катании.
Заслуженный мастер спорта РФ (2014).
Награжден орденом Почета (2022).