Родился 6 августа 1960 г. в селе Степной Дворец Кабанского района Бурятской АССР (ныне Республика Бурятия). После смерти родителей вместе с сестрой воспитывался в детском доме в г. Улан-Удэ.
В 1982 г. окончил факультет машиностроения Восточно-Сибирского технологического института в Улан-Удэ (ныне Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления), в 1987 г. - Высшую комсомольскую школу при ЦК ВЛКСМ.
В студенческие годы увлекался спортом, получил разряд мастера спорта по подводному плаванию и пятиборью. Выступал за сборные команды РСФСР на соревнованиях международного уровня.
В 1982 г. по распределению был направлен на машиностроительный завод в г. Одессу (Украинская ССР, ныне Украина).
В 1983 г. переехал в г. Тольятти Куйбышевской (ныне Самарской) области. Работал на Волжском автомобильном заводе (ныне АО "Автоваз"). Был заместителем начальника управления научно-технического центра. Затем стал освобожденным секретарем комсомольской организации завода.
С 1985 по 1991 г. - член Коммунистической партии Советского Союза (КПСС).
В 1985-1990 гг. - заместитель секретаря партийного комитета (парткома) КПСС Волжского автозавода.
Избирался депутатом городского совета народных депутатов г. Тольятти.
С 1991 по 1996 г. - генеральный директор производственно-коммерческой фирмы "Инком-авто", действовавшей при Волжском автомобильном заводе.
В 1996 г. переехал в Москву.
С 1996 по 2006 г. - директор по корпоративному управлению и работе с регионами некоммерческого партнерства "Единый электроэнергетический комплекс" (Москва).
В начале 2000-х гг. вступил в Коммунистическую партию Российской Федерации (КПРФ).
В 2003-2008 гг. - советник председателя центрального комитета (ЦК) КПРФ Геннадия Зюганова.
С 2006 г. был главным редактором "Рабочей газеты".
С 2010 г. - депутат Государственной думы V-VIII созывов от КПРФ.
В 2010-2011 гг. - депутат Госдуму V созыва. 2 декабря 2007 г. Леонид Калашников баллотировался в парламент по федеральному округу в составе партийного списка КПРФ (№2 в региональной группе №67, Самарская область). После распределения мандатов в Госдуму не прошел. 24 марта 2010 г. ЦИК передал Леониду Калашникову вакантный мандат члена фракции КПРФ Юлия Квицинского. 2 апреля 2010 г. Леонид Калашников был зарегистрирован депутатом Госдумы V созыва. 7 апреля 2010 г. занял пост первого заместителя председателя думского комитета по международным делам.
В 2011-2016 гг. – депутат Госдумы VI созыва. Был избран 4 декабря 2011 г. в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого КПРФ. На выборах возглавлял региональную группу №58 (Самарская область). В Госдуме VI созыва занимал пост первого заместителя председателя комитета по международным делам.
В 2016-2021 гг. – депутат Госдумы VII созыва. 18 сентября 2016 г. был избран в Госдуму по списку КПРФ (возглавлял региональную группу №32, Оренбургская и Самарская области). Выдвигался также по Тольяттинскому одномандатному избирательному округу №159 (Самарская область), занял второе место с результатом 31% голосов избирателей (победу одержал представитель "Единой России" Владимир Бокк, 34,7%). С 5 октября 2016 г. - председатель думского комитета по делам Содружества Независимых Государств (СНГ), евразийской интеграции и связям с соотечественниками.
С 2021 г. - депутат Государственной думы VIII созыва от КПРФ. Был избран 19 сентября 2021 г. по Тольяттинскому одномандатному избирательному округу №159, получив 38,71% голосов (второе место - Ирина Долгополова от "Единой России", 21,66%). Член фракции КПРФ. 12 октября 2021 г. вновь возглавил комитет Госдумы по делам СНГ, евразийской интеграции и связям с соотечественниками.
В 2008-2021 гг. - секретарь ЦК КПРФ. С апреля 2021 г. - заместитель председателя ЦК КПРФ Геннадия Зюганова. Член президиума ЦК партии (с 2008 г.).
Чрезвычайный и полномочный посол РФ (2022).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2016), орденом Дружбы Южной Осетии (2023). Имеет благодарность правительства РФ (2019).