Родился 4 сентября 1993 г. во Владикавказе в семье Казбека и Светланы Карацевых. Его отец - бывший футболист, мать - медицинский работник.
Студент кафедры теории и методики тенниса Российского государственного университета физической культуры, спорта, молодежи и туризма (Москва).
С середины 1990-х гг. Аслан Карацев с семьей проживал в Израиле. В шесть лет начал заниматься теннисом в Тель-Авиве под руководством тренера Владимира Рабиновича.
В середине 2000-х гг. Аслан Карацев вместе с отцом вернулся во Владикавказ. В 2008 г. продолжил тренировки в Таганрогской теннисной академии (Ростовская область), где его наставниками стали Александр Куприн и Иван Потапов. В 2011-2013 гг. также занимался под руководством тренера Андрея Кесарева.
В 2011 г. получил профессиональный статус. В октябре того же года в Казани вместе с Ричардом Музаевым стал чемпионом России в парном разряде. В финале турнира они нанесли поражение Ерванду Гаспаряну и Андрею Куманцову.
В мае 2013 г. в Казани Аслан Карацев стал победителем турнира серии "Фьючерс", проводимой Международной федерацией тенниса (International Tennis Federation, ITF). В финале нанес поражение украинцу Артему Смирнову. В дальнейшем на протяжении карьеры выиграл еще девять турниров этой серии.
В сентябре 2013 г. в Санкт-Петербурге Аслан Карацев дебютировал в основной сетке турнира мировой серии Ассоциации теннисистов-профессионалов (Association of Tennis Professionals, ATP), в первом круге уступив соотечественнику Михаилу Южному.
В марте 2015 г. в Казани выиграл турнир серии "Челленджер" ATP. В финале нанес поражение соотечественнику Константину Кравчуку.
В октябре 2015 г. добился первой победы в мировой серии ATP, выиграв в первом круге московского турнира "Кубок Кремля" у Михаила Южного. Во втором круге уступил немцу Филиппу Кольшрайберу.
В 2015 г. в Кванджу (Республика Корея) стал серебряным призером теннисного турнира в рамках XXVIII Всемирной летней Универсиады, в решающем матче уступив хозяину соревнований Чон Хёну. Там же выиграл бронзу в смешанном разряде (вместе с Вероникой Кудерметовой) и в турнире мужских команд (вместе с Евгением Тюрневым). В 2017 г. на XXIX Всемирной летней Универсиаде в Тайбэе (Тайвань, КНР) завоевал золото в парном разряде (вместе с Ричардом Музаевым) и в турнире мужских команд (вместе с Ричардом Музаевым и Романом Сафиуллиным).
С 2019 по 2021 г. Аслан Карацев тренировался в Минске под руководством белорусского специалиста Егора Яцюка.
В августе 2020 г. в Праге (Чехия) выиграл турнир серии "Челленджер", в решающем матче одолев Таллона Грикспура (Нидерланды). В сентябре того же года стал победителем турнира этой серии в Остраве (Чехия), в финале обыграв немца Оскара Отте.
В феврале 2021 г. в Мельбурне Аслан Карацев в составе сборной России выиграл Кубок Ассоциации теннисистов-профессионалов (вместе с Евгением Донским, Даниилом Медведевым и Андреем Рублевым). В финале этого командного турнира с участием 12 сборных россияне взяли верх над итальянцами.
В феврале 2021 г. Аслан Карацев также достиг полуфинальной стадии на дебютном для себя турнире Большого шлема - Открытом чемпионате Австралии (Мельбурн).
В марте 2021 г. выиграл первый титул ATP в одиночном разряде. В финале турнира, проходившего в Дубае, он нанес поражение представителю ЮАР Ллойду Харрису. В том же месяце выиграл первый в карьере титул ATP в парном разряде. Вместе с Андреем Рублевым в финале турнира в Дохе (Катар) он одержал победу над новозеландцем Маркусом Дэниэллом и австрийцем Филиппом Освальдом.
1 августа 2021 г. Аслан Карацев вместе с соотечественницей Еленой Весниной завоевал серебро теннисного турнира в смешанном разряде в рамках XXXII летних Олимпийских игр в Токио (Япония). В финале они уступили другому российскому дуэту - Анастасии Павлюченковой и Андрею Рублеву.
В октябре 2021 г. в Москве стал победителем Кубка Кремля. В решающем матче нанес поражение хорвату Марину Чиличу.
В декабре 2021 г. в Мадриде (Испания) в составе сборной России стал победителем Кубка Дэвиса по теннису.
С 2022 г. тренером Аслана Карацева является испанский специалист Габриэль Трухильо-Солер.
В январе 2022 г. выиграл турнир ATP в Сиднее (Аввстралия). В финале взял верх над британцем Энди Марреем.
В текущем одиночном рейтинге ATP Аслан Карацев занимает 15-е место (наиболее высокая позиция за все годы выступлений). На протяжении карьеры он заработал 2 млн 322 тыс. долларов призовых.
Заслуженный мастер спорта РФ (2021).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" I степени (2021) и орденом Дружбы (Южная Осетия, 2021).
Обладатель теннисной премии "Русский кубок" в номинации "Юниор года" (2011), награды Ассоциации теннисистов-профессионалов за наибольший прогресс в сезоне (2021).