Родился 20 мая 1939 г. в Одессе (Украинская ССР, ныне - Украина). Отец, Аншель Зельманович Кац, участвовал в Великой Отечественной войне, затем работал футбольным тренером. Мать, Соня Рувиновна Фуксман, была контролером на обувной фабрике.
В 1939-1941 гг. проживал с родителями в Тирасполе (Молдавская АССР в составе Украинской ССР). Во время войны вместе с матерью и братом находился в эвакуации в Омске. После демобилизации отца в 1946 г. семья вернулась в Одессу.
После окончания школы в середине 1950-х гг. будущий артист работал наладчиком на швейной фабрике. Тогда же он начал выступать в драматическом кружке одесского Дома культуры моряков. В 1960 г. был приглашен в самодеятельный студенческий театр "Парнас-2" при Одесском институте инженеров морского флота (ныне - Одесский национальный морской университет). В нем познакомился с будущим постоянным партнером по эстраде Виктором Ильченко (1937-1992) и автором текстов - сатириком Михаилом Жванецким (род. 1934).
В 1961 г. переехал в Ленинград (ныне - Санкт-Петербург). С 1962 г. выступал в Театре миниатюр Аркадия Райкина, по совету которого взял сценический псевдоним Роман Карцев. Вскоре с театром также начали сотрудничать Виктор Ильченко и Михаил Жванецкий. На протяжении нескольких лет Карцев и Ильченко выступали с концертной программой, автором которой был Жванецкий. В 1970 г. вместе с ними Роман Карцев вернулся в Одессу и организовал театр миниатюр при местной филармонии. В том же году Карцев, Ильченко и Жванецкий стали лауреатами IV Всесоюзного конкурса артистов эстрады.
Благодаря выступлениям Карцева и Ильченко в телевизионных концертах и передаче "Вокруг смеха" широкую известность получили юмористические номера "Раки", "Авас", "Собрание на ликеро-водочном заводе", "Кассир и клиент" и др. В Советском Союзе также распространялись магнитофонные записи их выступлений.
В 1972 г. Роман Карцев заочно окончил актерский факультет Государственного института театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне - Российский институт театрального искусства - ГИТИС, Москва).
С 1979 г. Карцев и Ильченко работали в Московском театре миниатюр (с 1987 г. - Московский театр "Эрмитаж"), где участвовали в постановке спектаклей "Когда мы отдыхали", "Птичий полет", "Полночное кабаре" и др. С 1988 г. они выступали в Московском театре миниатюр под руководством Михаила Жванецкого.
После смерти Виктора Ильченко в 1992 г. Роман Карцев выступал на эстраде с моноспектаклями и самостоятельными программами. Репертуар артиста, кроме произведений Михаила Жванецкого, также включал сочинения Антона Чехова, Михаила Зощенко, Даниила Хармса и др.
Роман Карцев был известен и как киноактер. Среди его работ - роли председателя домкома Швондера и Максимилиана Поплавского в фильмах Владимира Бортко по произведениям Михаила Булгакова "Собачье сердце" (1988) и "Мастер и Маргарита" (2005). Также сыграл бездомного Соломона и театрального администратора Иосифа Лозовского в картинах Эльдара Рязанова "Небеса обетованные" (1991) и "Старые клячи" (2000).
Роман Карцев скончался 2 октября 2018 г. в Москве на 80-м году жизни. Похоронен на столичном Троекуровском кладбище.
Народный артист РФ (1999).
Был награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2009).
Был женат на танцовщице Виктории Кассинской (род. 1949). Дочь Елена (род. 1971, фармацевт), сын Павел (род. 1976, актер).