Родился 14 октября 1959 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург) в семье Виктора Федоровича Касатонова и Галины Пименовны Худяковой. Отец - заслуженный металлург РФ, в течение 50 лет работал на заводе "Большевик". Мать - мастер спорта по волейболу, призер чемпионатов СССР в составе ленинградского "Спартака". Алексей Касатонов является внучатым племянником Героя Советского Союза адмирала Владимира Афанасьевича Касатонова (1910-1989).
В 1983 г. Алексей Касатонов окончил в Ленинграде Военный институт физической культуры.
Клубная карьера
В конце 1960-х гг. Алексей Касатонов начал заниматься в хоккейной школе ленинградского СКА под руководством тренера Олега Сивкова. Игровая позиция - защитник.
В 1976-1978 гг. выступал за основной состав СКА.
В 1978-1990 гг. был игроком московского ЦСКА. Вместе с клубом стал 11-кратным чемпионом Советского Союза (1979-1989). Всего в первенствах СССР провел 487 матчей, забросил 115 шайб.
В 1990-1995 гг. Алексей Касатонов выступал в Национальной хоккейной лиге (НХЛ). В 1990-1993 гг. представлял клуб "Нью-Джерси дэвилз", в 1993-1994 гг. - "Анахайм майти дакс", в 1994 г. - "Сент-Луис блюз", в 1994-1996 гг. - "Бостон брюинз". На этапах регулярных сезонов НХЛ провел 383 матча (забросил 38 шайб), на этапах плей-офф, в розыгрышах Кубка Стэнли, - 33 игры (4 шайбы).
В 1994 г., во время локаута (временной остановки игр) в НХЛ, сыграл несколько матчей за ЦСКА в Межнациональной хоккейной лиге (МХЛ, в турнире соревновались ведущие клубы ряда стран бывшего СССР). В 1996 г. Алексей Касатонов вернулся в Россию, где на протяжении одного сезона выступал в чемпионате страны за ХК ЦСКА, был его играющим тренером. В общей сложности в чемпионатах МХЛ и России провел 40 матчей, забросил 3 шайбы.
Карьера в сборной
В 1978 и 1979 гг. в составе молодежной сборной СССР Алексей Касатонов становился чемпионом мира. Турниры проходили в Канаде и Швеции соответственно.
В 1979-1991 гг. выступал за сборную СССР. Пять раз становился чемпионом мира (1981 - Стокгольм и Гетеборг, Швеция; 1982 - Хельсинки и Тампере, Финляндия; 1983 - Дортмунд, Дюссельдорф и Мюнхен, ФРГ; 1986 - Москва; 1989 - Сёдертелье и Стокгольм, Швеция). Один раз - серебряным (1987 - Вена, Австрия) и два раза бронзовым (1985 - Прага, Чехословакия; 1991 - Турку, Хельсинки и Тампере, Финляндия) призером мирового первенства. Алексей Касатонов является двукратным чемпионом зимних Олимпийских игр (1984 - Сараево, Югославия; 1988 - Калгари, Канада) и серебряным призером (1980 - Лейк-Плэсид, шт. Нью-Йорк, США). В общей сложности на чемпионатах мира и Олимпийских играх он провел 97 матчей и забросил 25 шайб.
В 1980-е гг. Алексей Касатонов играл в ЦСКА и сборной СССР в пятерке с Сергеем Макаровым, Игорем Ларионовым, Владимиром Крутовым и Вячеславом Фетисовым. Она считается специалистами одной из лучших в истории хоккея.
Завершил игровую карьеру в 1997 г.
Административная и тренерская карьера
В 1997-2000, 2003-2004 гг. Алексей Касатонов работал менеджером сборной России.
В 1997-1998 гг. являлся ассистентом генерального менеджера ХК ЦСКА.
С 1999 г. возглавляет международную хоккейную академию Алексея Касатонова (Нью-Йорк, США).
В 2008-2009 гг. Алексей Касатонов был главным тренером клуба Высшей лиги "Рысь" (Подольск, Московская область), в 2009-2010 гг. - клуба Высшей лиги "Крылья Советов" (Москва).
В 2010-2011 гг. занимал пост вице-президента ЦСКА.
В 2011-2014 г. являлся вице-президентом - генеральным менеджером СКА (Санкт-Петербург).
В 2011-2016 гг. Алексей Касатонов входил в состав правления Ночной хоккейной лиги.
В 2013-2014 гг. был генеральным менеджером сборной России. В этот же период являлся членом правления Континентальной хоккейной лиги - представителем по взаимодействию с клубами.
Во второй половине 2010-х гг. состоял в Совете легенд Ночной хоккейной лиги.
С 31 октября 2019 г. - генеральный директор Ночной хоккейной лиги.
Является президентом спортивно-развлекательного квартала "Парк легенд" (Москва) и ООО "Легенды хоккея - Сокольники". Соучредитель Ассоциации поддержки и развития хоккея "Лига легенд мирового хоккея".
Заслуженный мастер спорта СССР (1981). Майор запаса.
Награжден орденами "Знак Почета" (1982), Трудового Красного Знамени (1988), Почета (1996), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2011), Александра Невского (2020), медалью "За трудовое отличие" (1980). Отмечен благодарностью президента РФ (2016).
Член Зала славы Международной федерации хоккея на льду (2009), Зала славы отечественного хоккея (2014).
Женат. Супруга - Жанна. Сын - Леонид (род. 1983).