Родился 24 августа 1979 г. в Москве в семье преподавателей. Отец, Анатолий Георгиевич Каспржак (род. 1953), учитель физики, в 1986-2001 гг. директор московской школы №388 (ныне – гимназия №1505), один из организаторов в 1990-х гг. лабораторий инновационных моделей школ в Московском институте развития образовательных систем, ныне - профессор Высшей школы экономики. Мать, Надежда Юрьевна Каспржак, учитель физики и французского языка, с 2007 г. преподает французский язык на Факультете мировой политики МГУ им. М. В. Ломоносова.
В 2003 г. Алексей Каспржак окончил Московский педагогический государственный университет, получив степень магистра образования, преподавателя естествознания и физики. Также имеет дипломы Академии народного хозяйства при правительстве РФ по специальности “менеджмент в сфере образования” (2001) и менеджера образования Университета Роберта Гордона (г. Абердин, Великобритания). В 2007 г. окончил Институт региональных экономических исследований (Москва) по специальности “экономика и управление народным хозяйством”.
Кандидат экономических наук. В 2007 г. в Институте региональных экономических исследований защитил диссертацию по теме "Формы и методы реструктуризации сетей общеобразовательных учреждений в регионе: на примере Тверской области".
С 1996 по 2001 г. работал педагогом дополнительного образования и учителем физики в Московской городской педагогической гимназии №1505, которую возглавлял его отец. Параллельно занимался организацией и проведением семинаров Ассоциации инновационных школ и центров и образовательного центра "Эврика", работал начальником детских оздоровительных лагерей гимназии №1505.
В 2000 г. работал корреспондентом отдела "Образование" Федерального агентства новостей (Fan.ru), занимался организацией и проведением семинаров в Институте "Открытое общество" (Фонд Сороса).
С 2000 по 2001 г. работал также педагогом дополнительного образования в Московской городской лингвистической гимназии №1513.
В 2002-2005 гг. - координатор и консультант проекта "Реформа системы образования" в некоммерческой организации "Национальный фонд подготовки кадров" (создана правительством РФ в 1994 г.).
В 2005 г. - начальник отдела анализа и прогноза развития структуры, содержания и технологий образования в Министерстве образования и науки РФ.
С 2005 по 2007 г. занимал должность первого заместителя начальника департамента образования Тверской области.
В 2007-2009 гг. возглавлял департамент образования Тверской области (губернатором региона в 2003-2011 гг. был Дмитрий Зеленин).
В 2009-2010 гг. - начальник департамента финансов Тверской области.
С мая 2010 г. по июль 2011 г. - заместитель губернатора Тверской области Дмитрия Зеленина по финансам. После отставки главы региона 16 июня 2011 г. Алексей Кспржак ушел с должности замгубернатора по собственному желанию.
В 2011-2012 гг. являлся проректором Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики". Одновременно входил в Комиссию при президенте РФ по развитию системы поиска и поддержки талантливых детей и молодежи и совершенствованию проведения единого государственного экзамена.
С 2012 по 2014 г. – вице-президент, исполнительный директор Ассоциации менеджеров России (президент – Дмитрий Зеленин).
С 3 апреля 2013 г. – член правительственной Комиссии по организации подготовки управленческих кадров для организаций народного хозяйства РФ.
С июня 2014 г. по февраль 2019 г. – генеральный директор Международного детского центра "Артек" (Республика Крым, РФ), руководил его инфраструктурной реконструкцией.
29 ноября 2018 г. на съезде "Общероссийского народного фронта" Алексей Каспржак был включен в центральный штаб этой организации.
Общая сумма декларированного годового дохода за 2017 г. составила 1 млн 908 тыс. руб., супруги – 59 тыс. руб. Владеет автомобилем "Ягуар XF", супруга – автомобилями "Лэнд Ровер Дискавери" и "Мерседес Бенц V250 Bluetec".
Отмечен благодарностью правительства РФ (2015).
Женат, пятеро детей. Супруга - Мария.