Родился 19 июля 1940 г. в Батуми (Грузинская ССР, ныне Грузия).
Клубная карьера
Анзор Кавазашвили начал заниматься футболом в 13 лет в батумской детской команде "Динамо". Его первым тренером был Борис Фролов. Игровая позиция - вратарь. В юношеском возрасте выступал за команду Батумской автотранспортной конторы. С 16 лет совершенствовал мастерство в футбольной школе тбилисского "Динамо".
В 1957-1959 гг. привлекался к играм за основной состав тбилисского "Динамо".
В 1960 г. был игроком "Зенита" (Ленинград, ныне Санкт-Петербург).
С 1961 по 1968 г. Анзор Кавазашвили представлял московское "Торпедо". В 1965 г. в его составе стал чемпионом СССР, в 1968 г. - обладателем Кубка страны.
В 1969-1971 гг. выступал за московский "Спартак". В 1969 г. вместе с этим клубом завоевал золото чемпионата страны, в 1971 г. выиграл Кубок СССР.
В 1972 г. Анзор Кавазашвили был игроком кутаисского "Торпедо" (Грузинская ССР, ныне Грузия).
В общей сложности в чемпионатах СССР сыграл 274 матча, в 163 из них не пропускал мячей.
Карьера в сборной СССР
27 июня 1965 г. Анзор Кавазашвили дебютировал в составе сборной СССР в матче группы №7 отборочного турнира на чемпионат мира 1966 г. Игра против датчан, состоявшаяся в Москве, завершилась со счетом 6:0 в пользу советских футболистов.
В 1966 г. в составе сборной СССР участвовал в чемпионате мира, проходившем в Англии. Итогом выступления команды стало 4-е место, в матче за бронзу советские футболисты уступили португальцам. В 1970 г. Анзор Кавазашвили входил в состав сборной СССР на чемпионате мира в Мексике. Советские футболисты достигли четвертьфинала, где уступили уругвайцам.
В общей сложности в 1965-1970 гг. Анзор Кавазашвили провел за сборную СССР 29 матчей, в 15 из них не пропускал мячей.
Тренерская деятельность
В 1973-1975 гг. Анзор Кавазашвили был тренером костромского "Спартака".
В 1976-1977 гг. возглавлял сборную Чада.
В конце 1970-х - начале 1980-х гг. работал с юношескими сборными СССР.
В 1985-1986 гг. тренировал национальную команду Гвинеи.
Административная и общественная деятельность
С 1987 по 1991 г. Анзор Кавазашвили был ответственным секретарем Федерации футбола РСФСР.
В 1992-1994 гг. являлся первым заместителем председателя Государственного комитета РФ по физкультуре и туризму.
С 1992 г. по н. в. - президент общероссийской общественной организации "Всероссийская федерация футбола".
В 2011-2012 гг. Анзор Кавазашвили возглавлял экспертный совет при президенте Российского футбольного союза по выявлению договорных матчей.
В 2017 г. занимал должность председателя совета директоров клуба "Анжи" (Махачкала).
Книги
Анзор Кавазашвили является автором книг "Исповедь футбольного маэстро" (2010) и "Битва "авторитетов" (2014).
Звания, награды
Заслуженный мастер спорта СССР (1967). Заслуженный тренер РСФСР (1983). Заслуженный работник физической культуры РСФСР (1990).
Анзор Кавазашвили награжден орденом Почета (2000), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2021).
Почетный гражданин Батуми (2013).