Родился 26 июля 1941 г. в селе Перепись Черниговской области Украинской ССР (ныне – Украина) в многодетной крестьянской семье.
В 1967 г. окончил юридический факультет Иркутского государственного университета (ИГУ) им. А. А. Жданова, затем аспирантуру этого же вуза.
В 1970 г. на юридическом факультете ИГУ защитил кандидатскую диссертацию на тему "Координационная функция местных Советов депутатов трудящихся в современный период (на материалах Восточной Сибири)".
Доктор юридических наук. В 1991 г. в московском Институте государства и права Академии наук СССР (ныне – Российской академии наук) защитил диссертацию по теме "Региональные проблемы правовой охраны природы в СССР".
В 1959 г., после окончания школы, уехал на строительство металлургического комбината в г. Темиртау Казахской ССР (ныне - Казахстан), где работал плотником.
В 1960-1963 гг. проходил срочную службу в Советской армии в инженерных войсках.
В 1970-х гг. был лектором общества "Знание".
В 1975-1991 гг. - доцент кафедры трудового, экономического и сельскохозяйственного права Омского государственного университета (ОмГУ, ныне - носит имя Ф. М. Достоевского). С 1991 г. - заведующий кафедрой государственного права, управления и советского строительства ОмГУ (в настоящее время - кафедра государственного и муниципального права). В последние годы был профессором этой кафедры.
В 1989-1991 гг. - народный депутат СССР. В марте 1989 г. был избран по Омско-Тюменскому национально-территориальному округу №22. Входил в Межрегиональную депутатскую группу (сопредседатели Юрий Афанасьев, Борис Ельцин, Гавриил Попов, Андрей Сахаров и др.). В мае 1989 г. на I съезде народных депутатов был избран в Верховный Совет (ВС) СССР, но свое место уступил не прошедшему в состав ВС депутату Борису Ельцину (в 1991-1999 гг. – президент РФ).
В октябре 1991 г. на V Съезде народных депутатов РСФСР Алексей Казанник баллотировался в члены Конституционного суда республики, но избран не был. В том же месяце был делегирован российским Верховным советом в новый состав ВС СССР, где вошел в комитет по вопросам экологии и рационального использования природных ресурсов.
В декабре 1991 г., после роспуска общесоюзного Верховного Совета в связи с ликвидацией СССР, вернулся к научно-педагогической деятельности. Одновременно с 1992 г. стал председателем Комитета по делам национальностей, религий и общественных организаций администрации Омской области.
С февраля 1993 г. являлся членом Президентского совета, также принимал участие в подготовке референдума о доверии президенту и парламенту в апреле 1993 г. и в разработке президентского проекта новой конституции РФ, высказывался за созыв Учредительного собрания с целью принятия основного закона.
5 октября 1993 г. указом президента РФ Бориса Ельцина был назначен генеральным прокурором РФ (по действующей Конституции генпрокурора мог назначать только Верховный совет РФ). Накануне по решению Бориса Ельцина в стране были ликвидированы высшие органы власти – Съезд народных депутатов и Верховный совет РФ. 4 октября подразделения Минобороны и МВД взяли штурмом здание парламента, лидеры оппозиции Борису Ельцину были арестованы. Алексей Казанник сменил во главе Генпрокуратуры Валентина Степанкова, который не поддержал действия Ельцина и был отстранен им от должности.
С октября 1993 г. по февраль 1994 г. Казанник возглавлял следствие по делу о столкновениях в Москве 21 сентября – 5 октября 1993 г. между подразделениями МВД и армии, исполнявшими приказы Бориса Ельцина, и сторонниками Верховного совета (в них погибли 158 человек, 793 были ранены). Несмотря на давление Администрации президента, генпрокурор отказался провести ускоренное следствие в течение 10 дней и потребовать для оппозиционеров смертной казни. Он также планировал "ставить вопрос о привлечении к ответственности всех лиц, отдавших приказ о штурме Белого дома". 23 февраля 1994 г. Государственная дума РФ приняла постановление об амнистии всех арестованных по делу. Вопреки распоряжению Бориса Ельцина воспрепятствовать выполнению постановления Госдумы, Алексей Казанник 26 февраля 1994 г. освободил всех заключенных из следственного изолятора "Лефортово" и в тот же день подал заявление об отставке. 25 апреля 1994 г. она была утверждена постановлением Совета Федерации РФ.
В 1994-1995 гг. Алексей Казанник руководил созданием Партии народной совести.
17 декабре 1995 г. баллотировался в Государственную думу II созыва по списку Партии самоуправления трудящихся Святослава Федорова. В Думу избран не был, так как партия не преодолела 5-процентный барьер.
В 1996-2003 гг. занимал пост заместителя губернатора Омской области Леонида Полежаева, одновременно возглавлял Комитет по делам национальной политики, религии и общественных объединений администрации Омской области.
В 2003-2007 гг. был первым проректором Омского юридического института, параллельно преподавал на кафедре государственного и муниципального права ОмГУ.
2 июня 2019 г. Алексей Казанник скончался в Омске после продолжительной болезни. 4 июня он был похоронен на Старо-Северном кладбище в Омске.
Государственный советник юстиции I класса (1993).
Заслуженный юрист РФ (2006).
Заслуженный профессор ОмГУ им. Ф. М. Достоевского (2012).
Автор книг "Региональные проблемы правовой охраны природы в России" (1998), "Научная организация управленческого труда в государственных и муниципальных учреждениях России" (2004).
Был женат. Сыновья Дмитрий и Михаил, работают в прокуратуре.