Родился 7 апреля 1931 г. в Москве в семье физика Вениамина Львовича Грановского и математика Людмилы Всеволодовны Келдыш (сестра академика АН СССР Мстислава Келдыша).
В 1954 г. окончил физический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (МГУ). В 1957 г. - аспирантуру Физического института им. П. Н. Лебедева Академии наук СССР (ФИАН, Москва). Научным руководителем Леонида Келдыша был ученый Виталий Гинзбург (лауреат Нобелевской премии по физике, 2003).
Доктор физико-математических наук (ученая степень была присвоена в 1965 г. при защите в ФИАН кандидатской диссертации на тему "Полупроводники в сильных электрических полях"). В 1968 г. был избран членом-корреспондентом, в 1976 г. - академиком Академии наук СССР (ныне Российская академия наук, РАН). Являлся членом Отделения общей физики и астрономии РАН (физика и астрономия).
По окончании аспирантуры остался в Физическом институте им. П. Н. Лебедева, работал в отделе теоретической физики (ныне отделение теоретической физики им. И. Е. Тамма). Занимал должности младшего (1957-1965), затем старшего научного сотрудника (1965-1968), заведующего сектора (1965-1989). С 1989 по 1993 г. был директором ФИАН. С 1994 г. являлся главным научным сотрудником отделения теоретической физики института. Входил в состав ученого совета этого отделения, а также ученого и диссертационного советов института.
С 1962 г. был профессором Московского физико-технического института (ныне вуз имеет статус государственного университета).
В 1965 г. стал профессором МГУ им. М. В. Ломоносова. В 1978-2000 гг. заведовал кафедрой квантовой радиофизики (ныне кафедра квантовой электроники) физического факультета университета. С 2001 г. в течение нескольких лет читал курс "Взаимодействие излучения с веществом".
В 1991-1996 гг. занимал пост академика-секретаря Отделения общей физики и астрономии АН СССР, затем РАН.
Являлся советником Российской академии наук, входил в состав президиума РАН. Был председателем Национального комитета российских физиков (действует при РАН), главным редактором журнала "Успехи физических наук" (с декабря 2009 г.).
Академик Леонид Келдыш скончался 11 ноября 2016 г. в Москве, похоронен на Донском кладбище столицы.
Основные научные труды ученого посвящены квантовой теории систем многих частиц, физике твердого тела, а также физике полупроводников, квантовой радиофизике. В 1957-1958 гг. он развил теорию туннельного эффекта в полупроводниках и открыл явление, названное эффектом Франца-Келдыша. Построил общую теорию поведения атомов и твердых тел в сильных электромагнитных полях. Предсказал новый тип коллективных возбуждений - фоноритон и исследовал его свойства (1983-1986). Разработал специальную диаграммную технику для теоретического описания состояний и кинетики сильно неравновесных квантовых систем, ставшей классической и нашедшей применение в различных областях физики.
Опубликовал более 200 научных трудов. Среди них "О поведении неметаллических кристаллов в сильных электрических полях" (1957), "О влиянии сильного электрического поля на оптические характеристики непроводящих кристаллов" (1958), "Диаграммная техника для неравновесных процессов" (1964), "Сверхпроводимость в неметаллических системах" (1965), "Фононный ветер и капиллярная неустойчивость электронно-дырочных капель" (1975) и др. Автор учебника "Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом" (1989).
Был награжден орденами Трудового Красного Знамени (1975), Октябрьской Революции (1985), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (1999).
Лауреат Ленинской премии (1974) и премии президента РФ в области образования за 2003 г.
Также был лауреатом премий: им. М. В. Ломоносова АН СССР (1964), Hewlett-Packard ("Хьюлетт-Пакард") Европейского физического общества (1975), им. Александра Гумбольдта (1994; Германия), международной премии в области нанотехнологий RUSNANOPRIZE-2009, им. И. Я. Померанчука (2014; присуждается Институтом теоретической и экспериментальной физики, Москва), премии МГУ за выдающийся вклад в развитие образования (2014) и др.
Отмечен медалями РАН: золотой им. С. И. Вавилова (2005) и большой золотой им. М. В. Ломоносова (2015).
Был иностранным членом Национальной академии наук США (1995), членом Американского физического общества (1996), почетным членом Физико-технического института им. А. Ф. Иоффе РАН (Санкт-Петербург; 1992). В 1997 г. российскому ученому было присвоено почетное звание "Рентгеновский профессор" Вюрцбургского университета (Германия).