Родился 21 апреля 1955 г. в Москве в семье строителей метро.
В 1969 г. окончил Московскую городскую детскую музыкальную школу им. И. О. Дунаевского по классу фортепиано. В 1977 г. стал выпускником Московского института инженеров транспорта (ныне - Российский университет транспорта, МИИТ, Москва) по специальности "мосты, тоннели". Его однокурсником были Владимир Кузьмин, впоследствии также популярный музыкант и автор песен. В 1977-1980 гг. Кельми учился в аспирантуре МИИТ. В 1985 г. окончил эстрадное отделение Государственного музыкального училища имени Гнесиных (класс Игоря Бриля; ныне - Музыкальное училище имени Гнесиных Российской академии музыки имени Гнесиных).
В 1970 г. увлекся рок-н-роллом. Вместе с гитаристом Александром Ситковецким играл в любительском ансамбле "Садко". В 1972 г. совместно с Ситковецким образовал рок-группу "Високосное лето", где исполнял вокальные партии и играл на бас-гитаре, позднее - на клавишных. В том же 1972 г. начал использовать псевдоним "Крис" - в честь доктора Криса Кельвина, персонажа романа "Солярис" Станислава Лема и одноименного кинофильма Андрея Тарковского.
С лета 1979 г. по лето 1980 г. был участником группы "Автограф", в составе которой выступил на фестивале "Весенние ритмы Тбилиси-80".
В сентябре 1980 г. по приглашению театрального режиссера Марка Захарова перешел в Московский театр им. Ленинского комсомола, где создал штатный ансамбль - группу "Рок-Ателье". Коллектив был задействован в постановках "Ленкома" - сопровождал спектакли музыкой, участвовал в актерских мизансценах и массовых эпизодах мюзиклов "Звезда и смерть Хоакина Мурьеты", "Юнона и Авось", "Тиль Уленшпигель". Крис Кельми написал музыку для спектакля "Люди и птицы".
Был одним из авторов музыки для анимационных фильмов режиссера Ефима Гамбурга "Пес в сапогах" (1981) и "Парадоксы в стиле рок" (1982).
В 1987 г. Кельми работал в программе "В едином ритме" импресарио Ованеса Мелик-Пашаева в филармонии г. Йошкар-Олы. В том же году совместно с певицей Ольгой Кормухиной выпустил пластинку "Ольга Кормухина и "Рок-ателье" Криса Кельми". Также в 1987 г. организовал запись песни "Замыкая круг", в которой принял участие "звездный" состав из 27 популярных музыкантов, включая Андрея Макаревича, Александра Градского, Валерия Сюткина, Жанну Агузарову, Павла Смеяна и др.
В 1987-1988 гг. вместе с музыкантами "Рок-Ателье" с концертной программой "Ночное рандеву" выступал при Театре песни Аллы Пугачёвой. Участвовал в постановке первой программы "Рождественские встречи" (1988).
В 1990 г. Крис Кельми начал сольную карьеру. Летом 1990 г. стал одним из первых советских музыкантов, исполнивших свои произведения в студии американского музыкального телеканала MTV ("Эм-ти-ви").
В период с 1990 по 2003 гг. вышли девять альбомов музыканта: "Леди Блюз", "Ни о чем не жалей", "Ветер декабря" и др. В числе наиболее популярных песен Криса Кельми - "Ночное рандеву" (1989), "Усталое такси" (1990), "Леди Блюз" (1992, на стихи Карена Кавалеряна), "Эй, парень, не торопись" (1988, стихи Маргариты Пушкиной), "Ветер декабря" (1998, стихи Александра Вулыха).
В 1990-2000-х гг. входил в состав футбольного клуба звезд российской эстрады "Старко".
В 2013 г. Кельми стал одним из соучредителей московского ООО "Продюсерский центр Рок-Ателье". Занимал пост генерального директора этой фирмы, однако через год продал ее (сейчас она носит название ООО "Горимущество").
В 2010-х гг. СМИ неоднократно сообщали об алкогольной зависимости музыканта. Он появлялся в нетрезвом состоянии в прямом эфире телепрограмм, подвергался арестам за вождение в пьяном виде.
Умер 1 января 2019 г. в возрасте 63 лет в своем доме в Наро-Фоминском районе Московской обл. Прах захоронен на Николо-Архангельском кладбище в Москве.
Был женат. Супруга - Людмила (род. 1963), экономист. Сын - Кристиан (род. в 1988).