Родился 15 ноября 1973 г. в г. Москве.
В 1995 г. с отличием окончил Российский государственный гуманитарный университет (до 1991 г. - Московский государственный историко-архивный институт) по специальности "музейное дело, охрана памятников истории и культуры".
Кандидат исторических наук (тема диссертации "Историко-предметный метод атрибуции произведений портретной живописи России XVIII - 1-ой половины XIX вв."; 2000 г.). Академик Российской академии художеств.
В 1993 г. одновременно с учебой в вузе начал работать редактором в Российском военно-историческом журнале "Цейхгауз", с 1998 г. был заместителем главного редактора журнала (с 2008 г. - "Старый цейхгауз").
В 1996 - 1997 гг. - младший научный сотрудник музея-панорамы "Бородинская битва".
С 1997 г. работал в Министерстве культуры РФ. В 1997-1998 гг. был главным специалистом, в 1998-2000 гг. - заместителем начальника отдела лицензирования Департамента по сохранению культурных ценностей. Принимал участие в мероприятиях по возвращению в Россию украденных и пропавших произведений искусства.
В 2000-2001 гг. проходил срочную военную службу в Военно-морском флоте России, уволился в запас в звании сержанта морской пехоты. Награжден медалью "За службу в морской пехоте".
После службы в армии работал в Комитете по культуре г. Москвы. Затем вернулся в Министерство культуры РФ, где в 2001–2004 гг. занимал должность заместителя руководителя Департамента по сохранению культурных ценностей - начальника отдела министерства. Курировал подготовку и издание "Сводного каталога культурных ценностей, похищенных и утраченных в период Второй мировой войны", принимал участие в мероприятиях по розыску и возвращению в Россию ценностей, похищенных в годы Великой Отечественной войны.
С 2004 г. преподает историю военного костюма в школе-студии при Московском художественном театре им. А.П. Чехова. Был консультантом по военному и гражданскому форменному костюму в кино ("Русская игра" Павла Чухрая, "Гибель империи" Владимира Хотиненко и др.).
С 2004 г. работал советником в Аппарате Правительства РФ. В 2006–2008 гг. – заместитель директора Департамента массовых коммуникаций, культуры и образования Правительства РФ.
В июне 2008 г. возглавил Федеральную службу по надзору за соблюдением законодательства в области охраны культурного наследия (Росохранкультура), которая указом Президента РФ Дмитрия Медведева от 12 мая 2008 г. была выделена в самостоятельное ведомство из Федеральной службы по надзору в сфере массовых коммуникаций, связи и охраны культурного наследия. Как руководитель службы выступил инициатором регистрации памятников в Едином государственном реестре объектов культурного наследия (памятников истории и культуры) народов РФ.
1 ноября 2010 г. мэр Москвы Сергей Собянин назначил Александра Кибовского министром правительства Москвы, руководителем городского Департамента культурного наследия (Москомнаследие). В 2011 г. в столице была принята первая пятилетняя программа по сохранению культурного наследия в рамках городской программы "Культура Москвы 2012—2016 гг.". Проведена реставрация культурных объектов и памятников, таких как Триумфальная арка, Храм Николая Чудотворца в Хамовниках, историко-архитектурный ансамбль "Рогожская слобода", церковь Всех Скорбящих Радости на Ордынке и др. Начались работы по сносу незаконных строений на объектах культурного наследия (мансарды на исторических памятниках, пристройки к зданиям и др.). Александр Кибовский является одним из инициаторов столичной программы по восстановлению аварийных памятников за счет арендаторов, в ходе которой были отреставрированы "Дом с кариатидами" в Печатниковом переулке, здание Московской военно-фельдшерской школы в Лефортово.
В октябре 2011 г. занял должность заместителя председателя Комиссии при правительстве Москвы по рассмотрению вопросов осуществления градостроительной деятельности границах достопримечательных мест и зон охраны объектов культурного наследия.
12 июля 2013 г. назначен руководителем рабочей группы по координации подготовки и проведения информационно-пропагандистских мероприятий в связи с памятными датами военной истории Отечества Российского организационного комитета "Победа", возглавляемого Президентом РФ Владимиром Путиным.
С октября 2014 г. руководит московским отделением Российского военно-исторического общества.
С 11 марта 2015 г. по 27 сентября 2023 г. - министр правительства Москвы, руководитель городского Департамента культуры.
Действительный государственный советник Российской Федерации 2 класса (2010).
Заслуженный деятель искусств РФ (2021).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2015).
Имеет ордена преподобного Сергия Радонежского III степени (2014), Святого Благоверного князя Даниила Московского III степени (2006). Удостоен почетной грамотой Президента РФ (2009).
Автор ряда работ по истории российской императорской армии, а также по идентификации портретов русских офицеров XVIII–XIX вв. на основе сведений о форменной одежде и наградах, книг "Сибирский цирюльник" (2002), "300 лет российской морской пехоте" (2008; совместно с Олегом Леоновым) и "Униформа российского военного воздушного флота" (совместно с Алексеем Степановым и Кириллом Цыпленковым), "Российская морская пехота, 1855-1908".