Родился 27 сентября 1946 г. в Москве.
В подростковом возрасте был учеником лаборанта фотоцеха и фотографом киногруппы Центральной киностудии детских и юношеских фильмов им. М. Горького.
В 1968 г. окончил операторский факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ВГИК; ныне Всероссийский государственный институт кинематографии им. С. А. Герасимова). Выпускник мастерской заслуженного деятеля искусств РСФСР Леонида Косматова.
Первой операторской работой Игоря Клебанова стал короткометражный фильм студента режиссерского факультета ВГИКа Никиты Михалкова "Девочка и вещи" (1967). В 1968 г. был оператором очередной работы Михалкова - короткометражного фильма "...А я уезжаю домой".
Первой полнометражной кинолентой, оператором которой выступил Игорь Клебанов (главный оператор Владимир Рапопорт), стал "Деревенский детектив" - экранизация повести Виля Липатова (1969, режиссер Иван Лукинский).
В последующие годы он работал на съемках фильмов "Юнга Северного флота" (1973, Владимир Роговой), "Риск - благородное дело" (1977, Яков Сегель), "Капабланка" (1986, Мануэль Эррера, СССР - Куба), "Мытарь" (1997, Олег Фомин), "Дикарка" по пьесе Александра Островского (2001, Юрий Павлов), "Превращение" по мотивам повести Франца Кафки (2002, Валерий Фокин), "Заяц над бездной" (2006, Тигран Кеосаян), "Трое и Снежинка" (2007, Павел Бардин и Мгер Мкртчян), "Холодное танго" (2017, Павел Чухрай) и др.
К числу наиболее известных фильмов, оператором на съемках которых был Игорь Клебанов, относятся остросюжетные детективы "Петровка, 38" и "Огарева, 6" по произведениям Юлиана Семенова (оба - 1980, реж. Борис Григорьев), многосерийный детективный фильм "ТАСС уполномочен заявить..." по роману Юлиана Семенова (1984, Владимир Фокин), мелодрама "Водитель для Веры" (2004, Павел Чухрай). В общей сложности он выступил в качестве оператора на съемках более 40 фильмов и сериалов.
Был оператором наиболее известных клипов музыкальной группы "Тату" ("Нас не догонят", "30 минут"), участвовал в съемках рекламных роликов.
Исполнял роли в короткометражном фильме Тинатин Баркалая "Контраданс" (1994) и в сериале Тиграна Кеосаяна "Море. Горы. Керамзит" (2013, сыграл самого себя).
В 1989-1994 гг. Игорь Клебанов занимал должность руководителя Экспериментальной мастерской режиссеров и операторов кино- и видеофильма ВГИКа.
Является профессором кафедры кинооператорского мастерства ВГИКа. Также преподает на Высших курсах сценаристов и режиссеров им. Г. Н. Данелии.
Член правления Союза кинематографистов РФ, президиума Российской академии кинематографических искусств.
С 1996 по 2018 г. был президентом гильдии кинооператоров Союза кинематографистов РФ, в 2004-2018 гг. - президентом премии киноизобразительного искусства "Белый квадрат".
Игорь Клебанов входил в состав жюри различных программ кинофестивалей "Окно в Европу" (2005, Выборг, Ленинградская область), "Кинотавр" (2007, Сочи, Краснодарский край), "Дух огня" (2012, Ханты-Мансийск), "Киношок" (2015, Анапа, Краснодарский край), "Будем жить!" (2016 и 2019, Москва), "Виват кино России!" (2021, Санкт-Петербург).
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1990). Народный артист РФ (2006).
Награжден орденами Дружбы (2013) и Почета (2019).
Обладатель кинопремии "Ника" за лучшую операторскую работу (1997, "Научная секция пилотов").
Автор книги воспоминаний "Все это правда" (2022).