Родился 24 августа 1935 г. в Челябинске.
В 1960 г. окончил факультет журналистики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, в 1964 г. - сценарное отделение Высших курсов сценаристов и режиссеров (выпускник мастерской педагога Евгения Габриловича). В 1967 г. завершил обучение на Высших режиссерских курсах при киностудии "Ленфильм" (занимался в мастерской народного артиста СССР Григория Козинцева).
В 1967 г. Юрий Клепиков дебютировал как кинодраматург, написав сценарий к мелодраме режиссера Андрея Кончаловского "История Аси Клячиной, которая любила, да не вышла замуж". Большинство ролей в ней исполнили жители Горьковской (ныне Нижегородской) области, не являвшиеся профессиональными актерами. В широкий прокат лента вышла только в 1988 г. Режиссер связывал запрет на показ ленты в конце 1960-х гг. с противодействием первого секретаря Горьковского обкома КПСС Константина Катушева, поскольку картина "страшно ему не понравилась".
Среди других фильмов по сценариям Юрия Клепикова: "Мама вышла замуж" (1969, режиссер Виталий Мельников), "Не болит голова у дятла" (1974, Динара Асанова), "Восхождение" (1976, Лариса Шепитько), "Пацаны" (1983, Динара Асанова). В общей сложности он был автором и соавтором сценариев более десяти художественных и документальных кинолент.
Исполнял роли в фильмах "Начало" (1970, режиссер Глеб Панфилов), "Дом строится" (1978, Павел Коган и Петр Мостовой), "Романовы. Венценосная семья" (2000, Глеб Панфилов).
В 1989-1991 гг. был народным депутатом СССР (избирался от Союза кинематографистов СССР).
В 2000-2010-х гг. преподавал в Санкт-Петербургском государственном институте кино и телевидения. Был профессором кафедры драматургии и киноведения.
Юрий Клепиков скончался 1 ноября 2021 г. на 87-м году жизни.
Являлся членом Российской академии кинематографических искусств, Национальной академии кинематографических искусств и наук России.
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1986).
Лауреат Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры 1985 г., Государственной премии РСФСР им. братьев Васильевых 1990 г.
Обладатель кинопремии "Ника" в категории "Лучшая сценарная работа" (1989, "История Аси Клячиной, которая любила, да не вышла замуж") и в почетной номинации "За выдающийся вклад в отечественный кинематограф" (2015).
Автор книг "Записки бывшего мальчика" (2015) и "Летняя поездка к морю. Памяти забытого фильма" (2020).