Родился 1 декабря 1937 г. в Кишиневе (Королевство Румыния, в 1940-1991 гг. - столица Молдавской ССР, ныне столица Молдавии).
Во время Великой Отечественной войны находился в эвакуации в Андижане (Узбекская ССР, ныне Республика Узбекистан), после ее окончания проживал с родителями в Кишиневе.
В 1949 г. семья была депортирована в Сибирь, среднюю школу Наум Клейман окончил в 1955 г. в Гурьевске (Кемеровская область).
В 1955-1956 гг. был студентом математического факультета Киргизского государственного университета (г. Фрунзе; ныне Киргизский национальный университет им. Жусупа Баласагына, г. Бишкек).
В 1956 г. поступил в Москве на киноведческий факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ВГИК; ныне Всероссийский государственный университет кинематографии им. С. А. Герасимова). Окончил его в 1961 г., выпускник мастерской педагогов Николая Лебедева и Елизаветы Смирновой.
Профессиональная деятельность
В 1961-1966 гг. - научный сотрудник, старший научный сотрудник отдела отечественного кино Госфильмофонда СССР. С 1962 г. публиковал в периодических изданиях статьи и заметки по вопросам киноискусства.
В 1965 г. Наум Клейман принимал участие в создании Научно-мемориального кабинета-музея Сергея Эйзенштейна (в 1965-2018 гг. располагался в центре Москвы в доме 10 на Смоленской улице, с 2018 г. - на территории ВДНХ), в 1967-1985 гг. был его хранителем. Также выступил как один из составителей сборника избранных произведений Эйзенштейна (шесть томов были опубликованы в 1964-1971 гг.).
С 1985 г. являлся заведующим музейным отделом Бюро пропаганды советского киноискусства (с 1987 г. - Всесоюзное творческо-производственное объединение "Киноцентр"), с 1989 г. - директором Центрального музея кино при Союзе кинематографистов СССР. В 1992-2014 гг. был директором Государственного центрального музея кино (ГЦМК; с 2017 г. располагается на территории ВДНХ). С июля по октябрь 2014 г. занимал должность президента ГЦМК.
В 1988 г. Наум Клейман начал преподавательскую деятельность на Высших курсах сценаристов и режиссеров, вел курсы по истории советского и мирового кино. В 1990 и 1991 гг. вел спецкурс по творчеству Сергея Эйзенштейна в Нью-Йоркском университете (США).
В 1998 г. выступил в качестве автора сценария и продюсера документального фильма "Дом мастера" о жизни и творчестве Сергея Эйзенштейна (в 1999 г. удостоен премии ТЭФИ в категории "Телевизионный документальный фильм").
Публикации
В 2004 г. был издан сборник статей и текстов выступлений Наума Клеймана "Формула финала".
В 2017 г. опубликовал книгу-альбом "Эйзенштейн на бумаге. Графические работы мастера кино".
В 2020 г. выступил в качестве редактора-составителя сборника статей "Эйзенштейн для XXI века".
Звания, награды
Заслуженный деятель искусств РФ (1998).
Наум Клейман награжден орденом Заслуг перед Республикой Польша (2003) и орденом Восходящего солнца (Япония, 2005).
Обладатель приза "За вклад в сохранение российского кинонаследия" фестиваля "Кинотавр" (Сочи, 2007), почетной награды Берлинского кинофестиваля "Камера берлинале" (2015), спецприза "За вклад в кинематографические науки, критику и образование" российской кинопремии "Ника" (2015).
Почетный профессор ВГИКа (2003).