Родился 9 июля 1933 г. в Сталинграде (ныне Волгоград) в семье Германа Степановича и Калерии Георгиевны Климовых. Его отец был заведующим секретариатом комитета партийного контроля при ЦК КПСС. Мать работала преподавателем физической культуры.
В 1957 г. Элем Климов окончил Московский авиационный институт по специальности "вертолетостроение". В 1957-1958 гг. работал инженером-конструктором на Московском вертолетном заводе. Параллельно как внештатный автор сотрудничал с молодежной редакцией Всесоюзного радио.
В 1964 г. получил диплом режиссерского факультета Всесоюзного государственного института кинематографии (ВГИК; ныне Всероссийский государственный университет кинематографии им. С. А. Герасимова). Во ВГИКе учился в мастерской педагога Ефима Дзигана.
Работа в кино
Во время учебы во ВГИКе Элем Климов снял десятиминутный документальный фильм "Осторожно, пошлость!" (1959), короткометражную комедию "Жиних" (1960) и короткометражный детский фильм "Смотрите, небо!" (1962). В начале 1960-х гг. также был одним из первых ведущих телевизионной юмористической программы-игры "Клуб веселых и находчивых".
В 1964 г. на экраны вышла дебютная полнометражная картина Элема Климова - сатирическая комедия "Добро пожаловать, или Посторонним вход воспрещен". Главную роль - директора пионерского лагеря - в ней исполнил Евгений Евстигнеев.
В 1965 г. режиссер снял комедию "Похождения зубного врача". В ней свою первую кинороль сыграл Андрей Мягков. Фильм вышел в ограниченном прокате в 1967 г.
Следующей режиссерской работой Элема Климова стал документально-постановочный фильм "Спорт, спорт, спорт" (1970). Кадры хроники спортивных соревнований были смонтированы с художественными вставками в жанрах балета и пантомимы.
В 1976 г. Элем Климов вместе с Марленом Хуциевым участвовал в завершении после смерти Михаила Ромма его документального фильма "И все-таки я верю...".
После гибели в автокатастрофе в 1979 г. супруги - заслуженного деятеля искусств РСФСР кинорежиссера Ларисы Шепитько - снял о ней короткометражную документальную ленту "Лариса" (1980) и завершил начатый ею фильм "Прощание" (1983).
Широкую известность получили две последние работы Элема Климова - "Агония" о кризисе самодержавия в последние годы существования Российской империи (снята в 1975 г., вышла на отечественные экраны в 1985 г.) и "Иди и смотри" о карательной акции нацистов в белорусской деревне во время Великой Отечественной войны (1985).
В 1986-1988 гг. режиссер занимал должность первого секретаря правления Союза кинематографистов СССР.
Признание
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1976). Народный артист РФ (1997).
Фильмы Элема Климова были неоднократно отмечены различными наградами: "Добро пожаловать, или Посторонним вход воспрещен" - призом Международного фестиваля фильмов для молодежи в Канне (Франция, 1966), "Спорт, спорт, спорт" - золотой медалью Всесоюзного фестиваля спортивных фильмов в Риге (Латвийская ССР, ныне Латвийская Республика, 1970) и главной премией Международного фестиваля спортивных фильмов в Оберхаузене (ФРГ, 1973), "Лариса" - специальным призом Международного кинофестиваля в Мангейме (ФРГ, 1981), "Агония" - призом Международной федерации кинопрессы на Венецианском кинофестивале (Италия, 1982), "Иди и смотри" - главными призами Московского международного кинофестиваля (1985), Международного кинофестиваля в Трое (Португалия, 1985) и Всесоюзного кинофестиваля в Алма-Ате (Казахская ССР, ныне Республика Казахстан, 1986), а также первым призом Международного кинофестиваля в Авеллино (Италия, 1985).
Кончина
Элем Климов скончался 26 октября 2003 г. в Москве на 71-м году жизни. Похоронен на Троекуровском кладбище.
Семья
Был женат на Ларисе Шепитько (1938-1979). Сын - Антон Климов (род. 1973, журналист). Брат - Герман Климов (1941-2023, сценарист).
Фильмы и книга об Элеме Климове
Жизни и творчеству режиссера посвящены документальные фильмы Лилии Вьюгиной "Зачем пережила тебя любовь моя…" (2007) и Анны Голиковой "Лариса Шепитько и Элем Климов. Две жизни - одна судьба" (2018), а также сборник "Элем Климов. Неснятое кино" (2008, составитель Герман Климов).