Родился 10 июля 1942 г. в дер. Комаровка Брестской области Белорусской ССР (ныне Республика Белоруссия) во время немецкой оккупации.
В 1959 г. поступил в 10-е Военное авиационное училище первоначального обучения летчиков в гор. Кременчуге (Украинская ССР, ныне Украина), но проучился в нем только один год, так как училище расформировали. Затем стал курсантом Черниговского высшего военного авиационного училища летчиков (ВВАУЛ) и окончил его в 1964 г. по специальности "Боевое применение и эксплуатация самолетов". В 1973-1977 г. прошел заочное обучение в Военно-воздушной академии им. Ю. А. Гагарина (располагалась в пос. Монино, Московская обл.) и получил специальность "Командно-штабная, оперативно-тактическая авиация". В 1983 г. заочно окончил командный факультет Военно-политической академии им. В. И. Ленина (ныне Военный университет Минобороны РФ, Москва), а в 1987 г. - академические курсы переподготовки и усовершенствования руководящего состава при вузе.
Доктор технических наук (2000), профессор.
После окончания Черниговского ВВАУЛ, с декабря 1964 г. был летчиком и старшим летчиком 57-го гвардейского истребительного авиаполка ПВО (Ленинградский военный округ). Военный летчик III класса (1964), летал на самолетах МиГ-21У, УТИ МиГ-15, Ил-14.
28 октября 1965 г. приказом главкома Военно-воздушных сил СССР Петр Климук был зачислен слушателем-космонавтом в Центр подготовки космонавтов (ЦПК, ныне Научно-исследовательский испытательный центр подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина). Пройдя курс общекосмической подготовки, в декабре 1967 г. он был назначен на должность космонавта.
В 1967-1969 гг. проходил подготовку в группе космонавтов по программе облета Луны (советская пилотируемая лунная программа не была реализована).
Свой первый полет в космос Петр Климук совершил 18-26 декабря 1973 г. в качестве командира экипажа корабля "Союз-13" вместе с Валентином Лебедевым. В программу автономного полета входили астрофизические наблюдения с помощью системы телескопов "Орион-2". Петр Климук стал первым белорусом, побывавшим в космосе.
24 мая - 26 июля 1975 г. возглавлял экипаж космического корабля "Союз-18" и вторую экспедицию на орбитальную станцию "Салют-4", бортинженером был Виталий Севастьянов. Впервые в практике орбитальных полетов космонавты выполнили комплексное фото- и спектрографическое исследование полярных сияний, а также редкого явления природы - серебристых облаков.
С марта 1976 г. по январь 1978 г. Петр Климук занимал должность заместителя командира отряда космонавтов по политической части. Одновременно с марта 1976 г. по март 1982 г. являлся старшим инструктором-космонавтом.
С января 1978 г. по 1991 г. был начальником политотдела и заместителем начальника ЦПК.
Третий космический полет выполнил 27 июня - 5 июля 1978 г. в качестве командира международного экипажа корабля "Союз-30" и экспедиции посещения станции "Салют-6" в рамках программы "Интеркосмос". Петр Климук работал на орбитальной станции с первым космонавтом Польши Мирославом Гермашевским, а также с находившимися в то время на "Салюте-6" членами второй основной экспедиции Владимиром Коваленком и Александром Иванченковым.
В общей сложности за три полета Петр Климук провел в космосе 78 суток 18 часов 18 минут.
3 марта 1982 г. он выбыл из отряда космонавтов.
С сентября 1991 г. по сентябрь 2003 г. занимал должность начальника Центра подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина.
С 2001 г. заведовал кафедрой космического мониторинга в МАТИ - Российском государственном технологическом университете (в 2015 г. вуз вошел в состав МАИ).
В июле 2003 г. Петр Климук был уволен из Вооруженных сил РФ в запас в звании генерал-полковника авиации.
После ухода с военной службы он работал советником в посольстве Белоруссии в Москве.
Являлся депутатом Верховного совета СССР X созыва (1979-1982), народным депутатом СССР (1989-1991).
Автор ряда трудов по спектрофотографированию звезд и активных областей Солнца в ультрафиолетовом диапазоне, многозональной съемке земной поверхности, методам ориентации и стабилизации космических аппаратов. Написал книги "Рядом со звездами", "Атака на невесомость". При участии Петра Климука и Виталия Севастьянова был создан документальный фильм "Обычный космос" (1978), в котором космонавты рассказали о своем полете на станцию "Салют-4".
Дважды Герой Советского Союза (1973, 1975). Летчик-космонавт СССР (1973).
Награжден тремя орденами Ленина (1973, 1975, 1978), а также орденами "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III степени (1984), "За заслуги перед Отечеством" III (2000) и IV (1996) степеней, Почета (2022), медалью "За заслуги в освоении космоса" (2011).
Лауреат Государственной премии СССР (1978), премии Ленинского комсомола (1978, за сценарий документальной ленты "Обычный космос"), Государственной премии РФ 2001 г. в области науки и техники (за работу "Управление движением при сенсорных нарушениях в условиях микрогравитации и информационное обеспечение максиминного контроля качества визуальной стабилизации космических объектов").
Также в число наград космонавта входят: Золотая медаль имени К. Э. Циолковского (АН СССР, 1977), Крест Грюнвальда I степени (ПНР, 1978), орден "За службу Родине" II степени (Белоруссия, 2002), орден Почетного легиона II степени (Франция, 2004), орден Дружбы народов (Белоруссия, 2007) и др.
Является почетным членом Национальной академии наук Белоруссии.
Почетный гражданин Калуги (1973), Гагарина (Смоленская обл., 1977), Байконура (Казахстан, 1977), Бреста и Брестской области (Белоруссия) и др.
Бюсты Петра Климука установлены в Бресте (1978) и агрогородке Томашовка (находится рядом с дер. Комаровка) Брестской области. Имя космонавта носит средняя общеобразовательная школа №4 в подмосковном гор. Щелково, улицы в ряде населенных пунктов Белоруссии.