Родился 19 ноября 1922 г. в пос. Южное Харьковского уезда Харьковской губернии (ныне город в Харьковской области Украины).
В 1939 г. поступил на исторический факультет Харьковского государственного университета им. М. Горького (ныне Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина). Тогда же начал увлекаться древними языками, изучал египетские иероглифы.
После начала Великой Отечественной войны в июне 1941 г. как негодный к строевой службе был отправлен на строительство оборонительных сооружений в районе Чернигова и после наступления немецких войск оказался на оккупированной территории. В начале 1943 г. он смог перебраться в Москву, где поступил на исторический факультет Московского государственного университета (МГУ). 22 марта 1944 г. был призван в действующую армию и до середины 1945 г. служил телефонистом в 158-м артиллерийском полку Резерва верховного главнокомандования, все это время дислоцировавшегося под Москвой.
В 1948 г. Юрий Кнорозов окончил МГУ, защитив диплом о домусульманских верованиях народов Хорезмского оазиса. Уже в университетский период заинтересовался вопросом письменности майя - одной из крупнейших культур доколумбовой Америки, государство которой располагалось на территории современных Мексики, Гватемалы, Белиза, Сальвадора и Гондураса. Письменность майя к середине XX века оставалась нерасшифрованной, причем в ученом сообществе даже не было консенсуса о том, можно ли ее считать письменностью вообще.
После окончания МГУ Юрий Кнорозов пытался поступить в аспирантуру, однако получил отказ из-за того, что он полтора года провел на оккупированной немцами территории. В 1949 г. он переехал в Ленинград (ныне Санкт-Петербург), где по ходатайству своих научных руководителей, этнографов Сергея Толстова и Сергея Токарева был принят на должность младшего научного сотрудника в Музей этнографии народов СССР (ныне Российский этнографический музей). Параллельно в 1950-1952 гг. учился в Вечернем университете марксизма-ленинизма при Ленинградском обкоме ВКП(б). Будучи сотрудником музея, занимался исследовательско-архивной работой, проводил экскурсии, принимал участие в Хорезмской археологической экспедиции в Узбекистане и Туркмении.
В 1952 г. Юрий Кнорозов в целом завершил перевод на русский язык "Сообщения о делах в Юкатане" испанского епископа Диего де Ланды - одного из основных источников по истории и обычаям народа майя. Этот труд помимо прочего содержал список соответствий между иероглифами майя и буквами латинского алфавита, созданный де Ландой для помощи проповедникам. Из-за ряда неточностей "алфавит де Ланды" долгое время считался фабрикацией и игнорировался учеными. Юрий Кнорозов доказал аутентичность "алфавита" и пришел к выводу, что иероглифы майя - это словесно-слоговое письмо, в котором знаки могли представлять собой как логограммы, т. е. отдельные слова, так и силлабограммы - передавать слоги. В 1952 г. статья Кнорозова о дешифровке письменности вышла в журнале "Советская этнография". В 1953 г. сообщение об открытии было опубликовано за рубежом на испанском языке и произвело сенсацию, сравнимую с расшифровкой египетских иероглифов, сделанной в 1822 г. французом Жаном-Франсуа Шампольоном.
Первоначально гипотеза Кнорозова была встречена скептически многими иностранными специалистами, в том числе ведущим на тот момент британским исследователем цивилизации майя Джоном Эриком Томпсоном, который настаивал, что письменность мая являлась исключительно идеографической и применялась только для религиозно-эзотерических целей. Подход Кнорозова был единодушно признан в 1960-е гг. после того, как он был успешно применен для расшифровки исторических текстов майя американской исследовательницей русского происхождения Татьяной Проскуряковой.
В 1953 г. Юрий Кнорозов возглавил сектор Америки, Австралии и Океании в ленинградском отделении Института этнографии Академии наук СССР (Кунсткамера, ныне Музей антропологии и этнографии имени Петра Великого Российской академии наук, РАН), где проработал до конца жизни.
В 1955 г. он защитил диссертацию "Сообщение о делах в Юкатане" Диего де Ланда как историко-этнографический источник", за которую ему сразу была присвоена степень доктора исторических наук, минуя степень кандидата.
В 1956 г. Юрий Кнорозов участвовал на Международном конгрессе американистов в Копенгагене, но затем до 1990 г. оказался невыездным. Также в 1956 г. был награжден премией президиума Академии наук СССР.
В дальнейшем Кнорозов занимался расшифровкой и переводом трех кодексов майя (Дрезденского, Парижского и Мадридского) и других сохранившихся текстов, составлением каталогов иероглифов.
Помимо исследования письменности майя Юрий Кнорозов также занимался вопросами других нерасшифрованных письменностей, в том числе табличек ронго-ронго с острова Пасхи и хараппского письма долины Нила. С 1960-х гг. также изучал механизмы возникновения человеческой речи и письменностей и их роли в образовании коллектива.
В 1979-1990 гг. участвовал в девяти археологических экспедициях на Курильских островах по изучению древней культуры айнов, поиску гипотетической письменности доайнского населения островов и их связей с предками американских индейцев.
В 1990 г. Юрий Кнорозов впервые смог побывать в Латинской Америке, в Гватемале. Впоследствии еще несколько раз ездил в Мексику и США, выступал на конференциях, давал публичные лекции о расшифровке письменности майя.
В 1998 г. он стал почетным президентом Мезоамериканского центра при Российском государственном гуманитарном университете (РГГУ). С 1999 г. Центр носит имя ученого. Отделения Центра работают в Мексике и Гватемале.
Юрий Кнорозов скончался 30 марта 1999 г. на 77-м году жизни. Похоронен на Ковалевском кладбище в Ленинградской обл.
Лауреат Государственной премии СССР (1977).
Был награжден медалями "За победу над Германией" (1945) и "За трудовое отличие" (1967). Также награжден орденами Кетцаля (Гватемала, 1991) и Ацтекского орла IV степени (Мексика, 1994).
При жизни были изданы три монографии Юрия Кнорозова, посвященные письменности майя (1955, 1963, 1975). Собрания избранных работ Кнорозова изданы на испанском (1999) и русском (2018) языках.
Супругой Юрия Кнорозова была филолог-русист Валентина Михайловна Самкова (1922-2000). Дочь Екатерина (род. 1960) - кандидат филологических наук, старший научный сотрудник Института восточных рукописей РАН.
Памятник Юрию Кнорозову установлен в г. Мерида (Мексика) у Большого музея мира майя. Памятная доска ученому была открыта 17 ноября 2022 г. в здании РГГУ. На них, как и на надгробии на Ковалевском кладбище, воспроизведена самая известная фотография ученого, где он держит на руках свою сиамскую кошку по кличке Аспид (Ася). Также мемориальная доска была открыта 20 ноября 2023 г. на здании Кунсткамеры РАН в Санкт-Петербурге. В честь Кнорозова назван сквер в Санкт-Петербурге рядом с домом на Гранатной улице, где жил ученый, одна из скал на острове Итуруп, улицы в Харькове и Южном.
Жизни Юрия Кнорозова посвящена книга "Последний гений XX века. Юрий Кнорозов. Судьба ученого" (Галина Ершова, 2019).