Родился 29 октября 1966 г. в г. Воронеже.
В 1988 г. окончил Воронежское высшее военное авиационное инженерное училище, в 2001 г. - Воронежский государственный университет по специальности "юриспруденция", в 2006 г. - Воронежский институт экономики и социального управления по специальности "государственное и муниципальное управление". В 2017 г. завершил обучение в магистратуре Академии государственной противопожарной службы МЧС России. В 2009 и 2012 гг. учился на курсах повышения квалификации в Академии гражданской защиты МЧС России.
С августа 1988 г. по август 1989 г. служил помощником начальника штаба 936-го отдельного батальона аэродромно-технического обеспечения Сызранского высшего военного авиационного училища летчиков им. 60-летия СССР.
В 1989-1992 гг. был помощником начальника отдела кадров Сызранского авиационного училища.
С февраля 1992 г. по декабрь 1999 г. - начальник отдела кадров и строевой части 146-й отдельной мобильной механизированной бригады гражданской обороны. В 1995 г. принимал участие в вооруженном конфликте на территории Чеченской Республики, в 1998 г. во время грузино-югоосетинского конфликта участвовал в организации отправки колонны с гуманитарной помощью на территорию Южной Осетии.
С декабря 1999 г. по август 2000 г. - старший помощник начальника штаба по кадрам и строевой части 847-го спасательного центра МЧС России.
С августа 2000 г. по декабрь 2003 г. являлся начальником управления по делам гражданской обороны и чрезвычайных ситуаций Железнодорожного района Воронежа - заместителем начальника гражданской обороны Воронежа.
С декабря 2003 г. по январь 2005 г. - помощник начальника Главного управления Министерства РФ по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий по Воронежской области. Курировал вопросы организации службы безопасности военной и внутренней службы.
В 2005-2008 гг. - начальник управления кадров, воспитательной работы, профессиональной подготовки и психологического обеспечения ГУ МЧС России по Воронежской области.
С января 2008 г. по май 2010 г. - первый заместитель начальника Главного управления МЧС России по Воронежской области.
С мая 2010 г. по апрель 2016 г. - начальник Главного управления МЧС России по Воронежской области.
В 2012 г. Игорю Кобзеву было присвоено звание генерал-майора внутренней службы.
С апреля 2016 г. по август 2017 г. он занимал должность первого заместителя начальника Центрального регионального центра МЧС России.
В 2017-2018 гг. - директор департамента кадровой политики МЧС России.
С августа 2018 г. являлся и. о. заместителя главы МЧС. 1 мая 2019 г. был назначен заместителем руководителя МЧС - главным государственным инспектором РФ по пожарному надзору.
12 декабря 2019 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен врио губернатора Иркутской области (сменил на посту главы региона Сергея Левченко).
13 сентября 2020 г. был избран губернатором Иркутской области. На выборах за Игоря Кобзева, который баллотировался в порядке самовыдвижения, отдали голоса 60,79% избирателей (второе место занял кандидат от КПРФ, депутат Госдумы РФ Михаил Щапов, 25,50%). 18 сентября того же года Игорь Кобзев официально вступил в должность.
Член Всероссийской политической партии "Единая Россия" (партийный билет получил 4 декабря 2021 г.).
С декабря 2021 г. - и. о. секретаря, с 28 января 2022 г. - секретарь иркутского регионального отделения партии.
Генерал-полковник внутренней службы (2019).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени.