Родился 25 октября 1963 г. в гор. Ишимбае Башкирской АССР (ныне Республика Башкортостан, РФ).
В 1986 г. окончил Уфимский нефтяной институт (ныне Уфимский государственный нефтяной технический университет), проходил производственную практику помощником бурильщика на "Башнефти".
В 2004 г. получил дополнительное образование в Тюменском государственном нефтегазовом университете (ныне Тюменский индустриальный университет).
В 1986 г. Сергей Кочкуров по распределению получил работу бурильщиком в г. Когалыме (ныне в Ханты-Мансийском автономном округе, ХМАО), в нефтегазодывающем управлении "Ватьеганнефть" производственного объединения "Когалымнефтегаз" (в 1995 г. ПО вошло в состав "Лукойла"). Впоследствии был мастером капитального ремонта скважин, начальником цеха. В 2000-2002 гг. занимал должность главного инженера управления "Ватьеганнефть".
В 2002-2003 гг. занимал пост заместителя генерального директора по производству "Когалымнефтегаза", в 2003-2005 гг. - главного инженера - первого заместителя гендиректора, а в 2005-2009 гг. - генерального директора другой структуры "Лукойла" - "Покачевнефтегаза".
В 2009-2010 гг. являлся генеральным директором "Когалымнефтегаза". В 2010-2012 гг. - первым заместителем генерального директора, а в 2012-2019 гг. - генеральным директором ООО "Лукойл - Западная Сибирь".
С апреля 2019 г. Сергей Кочкуров был вице-президентом "Лукойла".
13 января 2025 г., сменив Вадима Воробьева, занял пост главного исполнительного директора "Лукойла".
В 2011-2016 гг. являлся депутатом думы ХМАО. Был избран 13 марта 2011 г. от "Единой России" по одномандатному округу №7, набрав 43,9% голосов. В думе занимал пост заместителя председателя комитета по бюджету, финансам и налоговой политике.
Награжден орденом Почета (2019), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2014).
Почетный гражданин Когалыма (2013).