Родился 2 июля 1910 г. в Нью-Йорке (США) в еврейской семье выходцев из Российской империи.
В 1935 г. он окончил Колумбийский университет (Нью-Йорк). Некоторое время преподавал историю в школе.
В 1937-1938 гг. принимал участие в Гражданской войне в Испании на стороне республиканцев в составе добровольческого антифашистского интернационального формирования. В 1938 г. Моррис Коэн был завербован советской внешней разведкой. В ноябре того же года он был направлен в США в качестве агента-связника. Получил оперативный псевдоним "Луис".
На антифашистском митинге в Нью-Йорке Коэн познакомился с Леонтиной (Лоной) Терезой Петке, которая в 1941 г. стала его женой. Леонтина, состоявшая в Коммунистической партии США, также начала работать на советскую разведку (оперативный псевдоним "Лесли").
В 1942 г. Моррис Коэн был мобилизован в американскую армию. Участвовал в боевых действиях Второй мировой войны в составе экспедиционных сил в Западной Европе. После демобилизации в ноябре 1945 г. вернулся в США.
В 1948 г. ему было поручено обеспечивать конспиративную связь с рядом наиболее ценных источников советской резидентуры. В 1949-1950 гг. Моррис и Леонтина Коэны работали с Рудольфом Абелем (настоящее имя - Уильям Фишер), который под оперативным псевдонимом "Марк" организовал в США нелегальную сеть агентов, передававшую в Москву информацию от источников, работавших на атомных объектах. В 1950 г. в связи с угрозой провала центральный аппарат разведки принял решение о выводе супругов Коэнов в СССР.
В 1950-1954 гг. Коэны работали в Москве в управлении нелегальной разведки, после чего были направлены в Великобританию в качестве связников-радистов разведчика Конона Молодого (действовал под именем Гордона Лонсдейла). В Соединенное Королевство Коэны прибыли с паспортами на имена новозеландцев Питера и Хелен Крогеров. Приобретя дом в пригороде Лондона, они оборудовали радиоквартиру для связи с Москвой. В 1955-1960 гг. нелегальная резидентура советской внешней разведки передала из Великобритании значительный объем секретных материалов, в т. ч. по ракетному оружию.
В конце 1950-х гг. из-за предательства сотрудника польской разведки Михала Голеневского, Центральное разведывательное управление США сообщило британским спецслужбам сведения о советских агентах. Это привело к аресту Гордона Лонсдейла и его группы в 1961 г. Питер Крогер был приговорен британским судом к 25 годам тюремного заключения, Хелен Крогер получила 20 лет.
В октябре 1969 г. супругов Крогер обменяли на арестованного в СССР агента британских спецслужб Джералда Брука. С 1969 г. Моррис и Леонтина Коэны жили в Москве, работали в Первом главном управлении (внешняя разведка) Комитета государственной безопасности при Совмине СССР (с 1978 г. - КГБ СССР; после распада Советского Союза на базе управления была образована Служба внешней разведки России). Участвовали в подготовке молодых сотрудников нелегальной разведки, занимались аналитической работой.
Моррис Коэн умер 23 июня 1995 г. в возрасте 84 лет. Похоронен на Кунцевском кладбище столицы рядом с супругой, скончавшейся 23 декабря 1992 г. Подробности биографий Коэнов, полученные от Службы внешней разведки, впервые были опубликованы ИТАР-ТАСС 4 июля 1995 г.
20 июля 1995 г. указом президента РФ Бориса Ельцина Моррису Коэну было посмертно присвоено звание Героя Российской Федерации ("за успешное выполнение специальных заданий по обеспечению государственной безопасности в условиях, сопряженных с риском для жизни, проявленные при этом героизм и мужество"). Кроме того, он был награжден орденами Красного Знамени и Дружбы народов, медалями.