Родился 1 марта 1961 г. в с. Глубоком Ольховского (ныне - Шадринского) района Курганской области.
В 1978 г. окончил среднее профессионально-техническое училище №9 в с. Батурино Шадринского района Курганской области. В 2000 г. получил диплом Московского государственного открытого университета (ныне в составе Московского политехнического университета) по специальности "юриспруденция".
Кандидат экономических наук. В декабре 2002 г. в Челябинском государственном университете защитил диссертацию на тему "Государственное регулирование социально-экономического развития муниципального образования".
С 1978 г. работал в Ольховском совхозе Шадринского района Курганской области.
С 1979 по 1981 г. проходил срочную воинскую службу в Вооруженных силах СССР. Служил в Группе советских войск в Германии.
В 1981-1986 и 1989-1990 гг. работал в органах внутренних дел г. Шадринска.
В 1987 г. был лаборантом Шадринского техникума физкультуры.
С 1987 по 1989 г. работал токарем Шадринского автоагрегатного завода, в 1990 г. перешел на завод "Полиграфмаш".
С 1991 по 1996 г. занимался коммерческой деятельностью в Шадринске. В 1991-1993 гг. - заместитель директора по коммерческой части, и. о. директора индивидуального частного предприятия "Гея", в 1993-1996 гг. возглавлял индивидуальное частное предприятие "Карина" (пошив меховых изделий). Создал также малое предприятие "Союз милосердия + помощь".
В 1996-2014 гг. – мэр г. Шадринска. Одновременно в 1996-2004 гг. - председатель Шадринской городской думы II и III созывов. Избирался 24 ноября 1996 г. и 26 ноября 2000 г.
28 ноября 2004 г. победил на выборах главы администрации Шадринска (баллотировался от Курганского регионального отделения партии "Единая Россия"). За Алексея Кокорина проголосовали 75,64% избирателей. Второе место занял самовыдвиженец Леонид Смирнов, набравший 9,74% голосов.
В 2007 г. стал секретарем политсовета Шадринского городского отделения партии "Единая Россия", вошел в Курганский региональный политсовет партии.
11 октября 2009 г. вновь был избран главой Шадринска, получив 84,68% голосов избирателей. За его ближайшего соперника - кандидата от "Справедливой России" Виктора Насонова проголосовали 8,47%.
4 декабря 2011 г. баллотировался в депутаты Государственной думы РФ VI созыва по Курганскому региональному списку партии "Единая Россия". По итогам выборов в Госдуму не прошел.
С 2014 по 2018 г. - губернатор Курганской области.
14 февраля 2014 г. президент РФ Владимир Путин назначил Алексея Кокорина временно исполняющим обязанности губернатора области. Сменил на этом посту Олега Богомолова, который досрочно ушел в отставку по собственному желанию.
14 сентября 2014 г. одержал победу на выборах губернатора Курганской области (баллотировался от партии "Единая Россия"). За него проголосовали 84,87% избирателей. Второе место занял кандидат от КПРФ Иван Евгенов, получивший 8,07% голосов. 26 сентября того же года Алексей Кокорин официально вступил в должность.
2 октября 2018 г. подал прошение о досрочной отставке с поста губернатора, которое было подписано президентом РФ. Врио главы Курганской области был назначен Вадим Шумков.
В январе 2019 г. вошел в состав совета директоров АО "Атомредметзолота".
Входил в состав Совета при президенте РФ по развитию местного самоуправления (2007-2012).
Общая сумма декларированного дохода за 2015 г. составила 3 млн 642 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 3 млн 421 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 3 млн 156 тыс. руб.
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2013).
Автор книги "Оптимизация финансово-экономических основ местного самоуправления" (2000).
Мастер спорта России по стендовой стрельбе (2015).