Родился 15 декабря 1928 г. в Москве в семье поэта Осипа Яковлевича Колычева (1904-1973).
Во время Великой Отечественной войны, в 1941-1942 гг. находился в эвакуации в Чистополе (Татарская АССР, ныне - Республика Татарстан), после чего вернулся в Москву.
В 1950 г. Юрий Колычев окончил актерский факультет Высшего театрального училища им. М. С. Щепкина (ныне - Высшее театральное училище, институт, им. М. С. Щепкина при Государственном академическом Малом театре России). Выпускник курса народного артиста СССР Константина Зубова.
В 1950-1957 гг. Юрий Колычев состоял в актерской труппе Малого театра. Был задействован в постановках: "Без вины виноватые" по пьесе Александра Островского, "Дорога свободы" по произведению Говарда Фаста, "Шакалы" по пьесе Аугуста Якобсона и др.
С 1957 г. до конца жизни был актером Московского государственного театра "Ленком" (до 1992 г. - Московский театр им. Ленинского комсомола). Исполнял роли в спектаклях: "Цветы живые" по пьесе Николая Погодина, "В день свадьбы" по произведению Виктора Розова, "104 страницы про любовь" по пьесе Эдварда Радзинского, "Прощай, оружие" по роману Эрнеста Хемингуэя, "Оптимистическая трагедия" по произведению Всеволода Вишневского, "Три девушки в голубом" по комедии Людмилы Петрушевской, "Тиль" и "Шут Балакирев" по пьесам Григория Горина, "Тартюф" по произведению Мольера, "Вишневый сад" по пьесе Антона Чехова и др. В текущем театральном сезоне задействован в постановке "Королевские игры" по мотивам пьесы Максвелла Андерсона "1000 дней Анны Болейн".
Юрий Колычев снимался в фильмах: "Иван Рыбаков" по пьесе Виктора Гусева (1961, режиссеры Борис Равенских и Елена Скачко), "Мелодия на два голоса" по повести Анатолия Афанасьева (1980, Александр Боголюбов и Геннадий Полока), "Дом, который построил Свифт" (1982, Марк Захаров), "Из жизни Потапова" (1985, Николай Скуйбин), "Черный квадрат" по мотивам произведений Фридриха Незнанского (1992, Юрий Мороз) и др. В последний раз появлялся на экране в роли Александра Гучкова в фильме "Очарование зла" (2006, Михаил Козаков).
Принимал участие в озвучивании нескольких десятков документальных лент. В их числе: "Чили - в борьбе, труде и надеждах…" (1972, режиссер Юрий Монгловский), "Большой театр вчера и сегодня" (1976, Василий Катанян), "Рожденные Октябрем" (1977, Владлен Трошкин), "Правда Апрельской революции" (1981, Евгений Кузин) и др.
Скончался 16 сентября 2019 г. на 91-м году жизни.
Народный артист РСФСР (1989).
Награжден орденами Почета (1999) и "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2008). Отмечен благодарностью президента РФ (2013).