Родился 1 июня 1956 г. в деревне Никольское Альшеевского района Башкирской АССР (ныне - Республика Башкортостан).
В 1978 г. окончил Московский инженерно-строительный институт им. Куйбышева (ныне - Национальный исследовательский московский государственный строительный университет) по специальности "инженер-строитель".
После вуза был принят на должность старшего инженера в московский Домостроительный комбинат №1 (ДСК-1), который до настоящего момента остается крупнейшим предприятием в Москве и России по производству и строительству жилых домов (ныне - АО "ДСК-1"). Работал на комбинате 38 лет. В 1990-х гг. занимал должность первого заместителя генерального директора, в начале 2000-х гг. являлся директором по строительству. С апреля 2008 г. по март 2016 г. - генеральный директор ДСК-1. Ушел с поста вскоре после покупки комбината финансово-строительной корпорацией "Лидер". По данным мэрии Москвы, под руководством Константинова ДСК-1 ввел в строй более 30 млн кв. м недвижимости, застроив новые районы: Крылатское, Братеево, Строгино, Солнцево, Тропарево, Митино, Бутово и др.
В 2016-2017 г. Анатолий Констатинов был заместителем директора принадлежащего московской мэрии АО "Управление экспериментальной застройки микрорайонов".
26 сентября 2017 г. мэр Москвы Сергей Собянин сообщил, что Анатолий Константинов возглавил Фонд реновации жилищного фонда Москвы (УНО "Московский фонд реновации жилой застройки"). Данный фонд будет отвечать за реализацию одноименной программы мэрии Москвы, в которую власти столицы в первые три года планируют вложить 300 млрд руб.
Заслуженный строитель РФ (1993).
Награжден орденами Почета (2012) и Дружбы (2004).
Почетный житель муниципального образования Солнцево в Москве (2011)