Родился 5 марта 1974 г. в Костроме.
В 1996 г. окончил Волго-Вятскую академию государственной службы (ныне Нижегородский институт управления, филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ) по специальности "государственное и муниципальное управление", в 2008 г. – Финансовую академию (ныне университет) при правительстве РФ по специальности "финансы и кредит".
С 1994 г. работал заместителем директора Нижегородского областного центра молодежных инициатив.
В 1995–1998 гг. – инспектор юридического отдела, затем руководитель группы исполнения постановлений по делам о нарушении таможенных правил Костромской таможни.
В 1998–1999 гг. работал в костромском региональном филиале акционерного коммерческого банка "СБС-агро".
С 1999 по 2001 г. – советник губернатора Чукотского автономного округа (АО) Александра Назарова.
С 2001 г. занимал должность советника губернатора Романа Абрамовича по экономическим вопросам.
23 декабря 2001 г. победил на повторных выборах главы Чаунского района Чукотского АО, набрав 79,04% голосов избирателей. Его основной соперник, предприниматель Сергей Пушкарев, получил 10% голосов.
7 декабря 2003 г. Роман Копин был избран руководителем Билибинского района Чукотки, набрав 73,13% голосов (в выборах участвовал в порядке самовыдвижения).
С апреля по июль 2008 г. являлся заместителем губернатора Чукотского автономного округа, начальником департамента промышленной и сельскохозяйственной политики.
С 2008 по 2023 г. возглавлял Чукотский автономный округ.
3 июля 2008 г. президент РФ Дмитрий Медведев принял досрочную отставку губернатора округа Романа Абрамовича и назначил Романа Копина временно исполняющим обязанности руководителя региона. 11 июля того же года глава государства внес кандидатуру Копина на рассмотрение регионального парламента, 13 июля депутаты окружной Думы наделили его полномочиями губернатора Чукотского АО. 24 июля того же года Роман Копин официально вступил в должность.
23 июля 2013 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен временно исполняющим обязанности главы Чукотского АО.
8 сентября 2013 г. Роман Копин победил на выборах губернатора Чукотки, получив 79,84% голосов избирателей (баллотировался от партии "Единая Россия"). Его ближайший соперник, кандидат от ЛДПР Ольга Васина, набрала 9,80%. 24 сентября того же года состоялась инаугурация избранного губернатора.
9 сентября 2018 г. он вновь был избран главой Чукотского АО. В выборах участвовал от "Единой России", по итогам голосования набрал 57,83%. Второе место заняла кандидат от ЛДПР, председатель комиссии окружной Думы по регламенту и депутатской деятельности Юлия Бутакова (18,46%). 8 октября того же года Роман Копин официально вступил в должность. Одновременно являлся председателем правительства региона.
15 марта 2023 г. президент РФ Владимир Путин принял досрочную отставку Романа Копина и назначил врио губернатора Чукотского АО Владислава Кузнецова, бывшего первого заместителя председателя правительства Луганской Народной Республики.
Член политсовета чукотского регионального отделения Всероссийской политической партии "Единая Россия". Входил в высший совет партии (до декабря 2021 г.).
Награжден орденом Почета.