Родился 24 мая 1972 г. в Иркутске.
Учился в Свердловской средней специальной музыкальной школе (ныне Уральская специальная музыкальная школа, колледж; Екатеринбург) по классу виолончели педагога Сергея Пешкова.
В 1996 г. окончил Московскую государственную консерваторию (МГК) им. П. И. Чайковского по классу виолончели профессора Марии Чайковской, в 2002 г. - по классу оперно-симфонического дирижирования профессора Василия Синайского. В 1998 г. завершил обучение в аспирантуре МГК по специальности "струнный квартет" под руководством народного артиста РФ Андрея Шишлова.
Музыкальная карьера
В 1990-1993 гг. Феликс Коробов был концертмейстером группы виолончелей Екатеринбургского государственного академического театра оперы и балета, в 1996-2000 гг. - Государственной академической симфонической капеллы России.
В начале 2000-х гг. сочетал работу ассистентом главного дирижера Государственного академического симфонического оркестра РФ и дирижером Московского академического музыкального театра им. К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко.
В 2004-2006 гг. был главным дирижером Московского театра "Новая опера" им. Е. В. Колобова. Руководил в нем постановкой "Нормы" Винченцо Беллини и "Царской невесты" Николая Римского-Корсакова. В настоящее время сотрудничает с "Новой оперой" в качестве приглашенного дирижера.
С 2004 г. по н. в. Феликс Коробов является главным дирижером Московского академического музыкального театра им. К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко. В качестве музыкального руководителя и дирижера выпустил в нем около 30 опер и балетов. Среди них: "Аида" и "Травиата" Джузеппе Верди, "Евгений Онегин" Петра Чайковского, "Итальянка в Алжире" Джоаккино Россини, "Каменный цветок" и "Золушка" Сергея Прокофьева, "Майская ночь" Николая Римского-Корсакова, "Медея" Луиджи Керубини, "Русалочка" и "Татьяна" Леры Ауэрбах, "Царь Эдип" Игоря Стравинского, "Замок герцога Синяя Борода" Белы Бартока.
С 2007 г. по н. в. - художественный руководитель и главный дирижер Камерного оркестра Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского.
В 2009 г. в Немецкой опере на Рейне (Дюссельдорф, ФРГ) вместе с венгерским хореографом Юрием Вамошем поставил балет "Спартак" Арама Хачатуряна.
В 2017 г. Феликс Коробов начал сотрудничество с театром "Ла Скала" (Милан, Италия). Руководил в нем постановками балетов "Спящая красавица" Петра Чайковского (хореография Рудольфа Нуреева), "Онегин" на музыку Петра Чайковского (хореография Джона Крэнко) и "Манон" на музыку Жюля Массне (хореография Кеннета Макмиллана).
Преподавательская деятельность
Феликс Коробов является доцентом кафедры оперно-симфонического дирижирования Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского. Входит в состав ученого совета МГК.
Признание
Народный артист РФ (2020). Заслуженный артист Республики Абхазия (2012).
Лауреат премии г. Москвы в области литературы и искусства в номинации "Просветительская деятельность" (2016).
Обладатель театральной премии "Золотая маска" в номинации "Балет. Работа дирижера" (2012, "Русалочка").