Родился 19 октября 1976 г. в Калининграде.
В 1998 г. окончил Калининградский государственный технический университет по специальности "экономист".
Занимал пост генерального директора ООО "АВ-групп".
В 2011-2016 гг. был депутатом Калининградской областной думы.
13 марта 2011 г. был избран в Калининградскую облдуму V созыва по одномандатному округу №7. Баллотировался от партии "Единая Россия". На выборах набрал 42,5% голосов, второе место в округе занял кандидат от "Патриотов России", предприниматель, депутат гордумы Калининграда Евгений Ган (17,82%). В областном парламенте Алексей Коротков работал в двух постоянных комитетах: по бюджету, налогам и финансам; по экономической политике и развитию инфраструктуры. Депутатские полномочий исполнял на непостоянной основе.
18 сентября 2016 г. вновь избран депутатом Калининградской облдумы VI созыва от "Единой России". Баллотировался в составе региональной группы кандидатов №7.
13 октября 2016 г. был наделен полномочиями члена Совета Федерации РФ – представителя от Калининградской областной Думы. В 2021 г. на посту сенатора его сменил бывший глава Калининграда, экс-депутат Госдумы Александр Ярошук.
Член Всероссийской политической партии "Единая Россия", входит в региональный политсовет Калининградской области.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 6 млн 906 тыс. руб., супруги - 1 млн 532 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 6 млн 991 тыс. руб., супруги - 2 млн 502 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2019 г. составила 18 млн 843 тыс. руб., супруги - 4 млн 229 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2020 г. составила 31 млн 888 тыс. руб., супруги - 688 тыс. руб.
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2020).