Родился 12 октября 1966 г. в Москве в семье математиков. Отец, Анатолий Васильевич Кортнев, работал ученым секретарем в одной из структур Академии наук СССР/РАН. Мать, Ирина Сергеевна Зотова, была редактором научного журнала. Учился в английской спецшколе, свои первые песни сочинил в седьмом классе (написал их на английском языке).
В 1983 г. поступил на механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (МГУ), где проучился четыре курса (был отчислен за неуспеваемость в 1987 г.).
На первом курсе, 13 сентября 1983 г., на прослушивании в музыкальной студии Студенческого театра МГУ познакомился с Валдисом Пельшем, студентом философского факультета университета. Вместе с ним организовал дуэт "Несчастный случай", их первое выступление состоялось в декабре того же года на сцене Студтеатра. В настоящее время в состав "Несчастного случая" входят семь музыкантов (датой рождения рок-группы считается 13 сентября 1983 г.). В творческом коллективе Алексей Кортнев является солистом и автором большинства текстов исполняемых песен.
Первый альбом "Несчастного случая" вышел в 1994 г. под названием "Троды плудов"; всего коллектив записал 14 альбомов. Кроме того, Алексей Кортнев выпустил сольный диск "Кортнев Алексей и "Музыкальные руководители" Нелегенды Русского Шансона"; совместно с музыкантом и актером Владимиром Качаном записал альбом "Му-Му и адвокат".
В Студенческом театре МГУ Алексей Кортнев играл в мюзиклах "Бензоколонка" по пьесе болгарского драматурга Ивана Радоева (одна из главных ролей), "Принцесса на горошине" по сказке Ганса Христиана Андерсена и др. По его песням в театре были поставлены рок-мюзиклы "Межсезонье", "Сад идиотов". В сезоне 1987-1988 гг. вместе с членами группы выступал за команду КВН МГУ. С 1995 г. по н. в. ведет финал ежегодного конкурса "Мисс МГУ".
На протяжении многих лет команда "Несчастный случай" сотрудничает с московским театральным коллективом "Квартет И". Первой совместной работой стал спектакль "День радио" (премьера состоялась в 2001 г.), для которого Алексей Кортнев написал десять песен (вместе с группой участвует в постановке). Также Кортнев играет в спектаклях "День выборов" (2003), "Письма и песни мужчин среднего возраста времен караоке, дорожных пробок и высоких цен на нефть" (2012).
Кроме того, Алексей Кортнев участвовал в российском мюзикле "Норд-Ост" по роману Вениамина Каверина "Два капитана" (в 2002 г. исполнил арию Ромашова), в спектакле "Уйти нельзя остаться" по пьесе Вуди Аллена (2011), записи радиоспектакля "Обыкновенное чудо" по одноименной пьесе Евгения Шварца (2007; читал текст от автора и исполнил роль трактирщика Эмиля).
Написал стихи к песням для спектаклей "Вам позволено переиграть" по пьесе "Биография" Макса Фриша (с 1997 г. шел в театре-кабаре "Летучая мышь"), "Конек-горбунок" (с 2008 г. идет на сцене МХТ им. А.П. Чехова), "Продюсеры" (с 2009 г. - на сцене Московского театра "Et Cetera" под руководством Александра Калягина). Перевел тексты песен ряда зарубежных мюзиклов, которые впоследствии были поставлены в России. Среди них "Иствикские ведьмы" (премьера - в 2003 г.; выступил в мюзикле также в качестве актера), "Кошки" (2005), "Mamma Mia!" (2006), "Красавица и Чудовище" (2008). Автор слоганов для рекламных кампаний продуктов известных брендов (Pepsi, Wrigley, M&M’s, Moccona и др.).
Дебютировал как киноактер в 1992 г. - в фильме Ивана Дыховичного "Прорва" сыграл работника НКВД. Всего снялся в более чем 45 кино- и телефильмах, сериалах. Среди них кинолента режиссера Павла Лунгина "Ветка сирени" (2007), а также фильмы по мотивам театральных постановок "Квартета И": "День выборов" (2007), "День радио" (2008), "О чем говорят мужчины" (2010), "О чем еще говорят мужчины" (2011), "День выборов-2" (2016).
Написал сценарий к фильму "Первая любовь" (2009; режиссер - Егор Дружинин). Имеет опыт озвучивания: его голосом говорит Джек Повелитель Тыкв в переводной версии американского мультфильма "Кошмар перед Рождеством".
Участвовал в проектах на телевидении и радио. Выступил соавтором юмористической телепередачи "Оба-на" (в 1990 г.; выходила на первой программе ЦТ), хит-парада "Золотой граммофон" на "Русском радио" (1995). Вел музыкальную программу "Пилот" на НТВ (1995-1996), программу "Несчастный случай" на REN TV (с 2001 г.). Является автором-исполнителем песен для телепередач "Моя семья", "Сам себе режиссер", "Эти забавные животные" и др.
С 2015 г. по н. в. - ведущий программы "Доброе дело" на телеканале "Че". С 2016 г. ведет телепередачи "Устами младенца" и "Салтыков-Щедрин шоу" на НТВ.
Основатель и художественный руководитель "Школы Трех Искусств Алексея Кортнева" (г. Химки Московской области).
Входит в состав попечительского совета благотворительного фонда "Дети наши" (с 2010 г.).
Женат вторым браком. Отец пятерых детей. Первой супругой была певица Ирина Богушевская, с которой он познакомился в Студенческом театре МГУ (Ирина училась на философском факультете университета); в браке родился сын Артемий (1988). Затем около десяти лет состоял в гражданском браке с актрисой Юлией Рутберг. Актриса Елена Ланская, с которой у Кортнева был роман, родила от него сына Никиту.
В 2002 г. женился на гимнастке Амине Зариповой. У пары трое детей: сыновья Арсений и Афанасий, дочь Аксинья.
Увлекается волейболом, бильярдом, горнолыжным спортом.