Родился 27 августа 1974 г. в п. Усинске Коми АССР (ныне - г. Усинск Республики Коми). В 1978 г. его семья переехала в вахтовый поселок Вангурей Ненецкого автономного округа, в 1981 г. - в поселок Искателей.
В 1996 г. окончил экономический факультет Сыктывкарского государственного университета (ныне – Сыктывкарский государственный университет им. Питирима Сорокина) по специальности "управление производством", в 2003 г. - Академию государственной службы при главе Республики Коми.
С 1996 г. работал ведущим специалистом учреждения "Фонд ресурсов Севера" (Сыктывкар).
В 1998-2000 гг. - директор по внешнеэкономическим связям Сыктывкарской туристической компании "Рос-тур".
С 2000 г. занимал должность исполнительного директора некоммерческой организации "Союз геологов и нефтяников Севера" (г. Нарьян-Мар, Ненецкий автономный округ).
14 января 2001 г. баллотировался на пост главы Нарьян-Мара, однако выборы проиграл, заняв третье место (17,8% голосов избирателей).
В 2001-2012 гг. - депутат Собрания депутатов Ненецкого автономного округа. 14 января 2001 г. был избран в Собрание депутатов округа XXIV созыва по общерегиональному (многомандатному) избирательному округу, набрав 30,8% голосов избирателей. В 2001-2002 гг. занимал должность заместителя председателя регионального парламента.
С 2002 по 2004 г. - секретарь политического совета Ненецкого регионального отделения партии "Единая Россия". В ноябре 2004 г. вошел в состав генерального совета партии.
В 2005 г. участвовал в выборах главы администрации Ненецкого автономного округа. 23 января 2005 г. получил 48,45% голосов и вышел во второй тур вместе с бывшим федеральным инспектором по Ненецкому АО Алексеем Бариновым, набравшим 22,41%. 6 февраля во втором туре уступил сопернику, получив 30,47%. За Алексея Баринова отдали голоса 48,45% избирателей.
6 февраля 2005 г. и 1 марта 2009 г. избирался депутатом Собрания депутатов Ненецкого автономного округа XXV и XXVI созывов. В 2005 г. баллотировался по Качгортскому одномандатному округу №3, набрал 27,19% голосов. В 2009 г. участвовал в выборах по единому избирательному округу от партии "Единая Россия" (под третьим номером в партийном списке). С 2005 по 2012 г. занимал должность председателя регионального парламента.
С февраля 2012 г. по февраль 2014 г. - член Совета Федерации Федерального собрания РФ, представитель от Собрания депутатов Ненецкого автономного округа. Входил в комитет Совета Федерации по регламенту и организации парламентской деятельности.
22 февраля 2014 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен временно исполняющим обязанности губернатора Ненецкого автономного округа. Сменил во главе региона Игоря Федорова.
14 сентября 2014 г. в первом туре избран губернатором Ненецкого автономного округа, получив 76,70% голосов избирателей. Второе место занял кандидат от ЛДПР, замначальника Государственной инспекции по надзору за техническим состоянием самоходных машин и других видов техники Ненецкого АО Андрей Смыченков (7,67%). 20 сентября того же года Игорь Кошин официально вступил в должность.
В рейтинге эффективности глав российских регионов, составленном Фондом развития гражданского общества и опубликованном в июне 2016 г., входил во вторую группу руководителей субъектов РФ (т. н. высокий рейтинг). Занимал 32-е место, получив 69 баллов.
28 сентября 2017 г. президент России Владимир Путин принял досрочную отставку Игоря Кошина и назначил врио главы региона Александра Цыбульского, который до последнего времени занимал пост заместителя главы Минэкономразвития.
С 21 декабря 2017 г. по 22 июля 2020 г. - заместитель министра РФ по делам Северного Кавказа, курировал международное сотрудничество, вопросы взаимодействия Российской Федерации с Республикой Абхазия и Республикой Южная Осетия. Освобожден от должности в связи с ликвидацией Минкавказа.
Общая сумма декларированного дохода за 2015 г. составила 32 млн 535 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 11 млн 445 тыс. руб.
Награжден орденом Дружбы (2017).