Родился 3 декабря 1898 г. (21 ноября по старому стилю) в с. Брынчаги Угличского уезда Ярославской губернии Российской империи (ныне - Переславский район Ярославской области РФ) в крестьянской семье. Отец Михаила погиб на лесозаготовках, когда мальчику было семь лет.
В возрасте 14 лет Михаил приехал на заработки в Москву и устроился подмастерьем в карамельный цех кондитерской фабрики "Эйнем" (впоследствии - "Красный Октябрь"), где позднее освоил профессию рабочего по обслуживанию карамельных автоматов.
В начале 1917 г. был призван в Русскую императорскую армию, воевал в составе 58-го пехотного полка на Западном фронте. В августе того же года был ранен, прошел курс лечения в Москве и демобилизовался.
После Октябрьской революции 1917 г. и начала Гражданской войны, в апреле 1918 г., записался добровольцем в железнодорожный отряд Рабоче-крестьянской Красной армии (РККА). Служил политработником, участвовал в боях против частей белых армий под Архангельском и под Царицыном (ныне - Волгоград). Занимал пост секретаря партийной ячейки 3-й железнодорожной бригады на Южном фронте. В 1921 г. демобилизовался в связи с расформированием бригады.
В том же году Михаил Кошкин с отличием окончил военно-политические курсы в Харькове (Украинская ССР, ныне - Украина), после чего был направлен на учебу в Москву. В 1924 г. завершил обучение в Коммунистическом университете им. Я. М. Свердлова (готовил работников аппарата коммунистической партии).
После окончания вуза получил распределение в г. Вятку (ныне - Киров), где в 1924-1925 гг. руководил Вятской кондитерской фабрикой.
С 1925 г. находился на партийной работе, в 1928 г. - в должности заведующего агитационно-пропагандистским отделом Вятского губкома ВКП(б).
В 1929 г. в числе "парттысячников" он был направлен на учебу в Ленинград (ныне - Санкт-Петербург), где в 1934 г. окончил Ленинградский индустриальный институт (ныне - Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого). Защитил диплом на тему "Коробка переменных передач среднего танка" по специальности "инженер-механик по конструированию автомобилей и тракторов". Производственную практику проходил на Горьковском автомобильном заводе им. В. М. Молотова (ныне - предприятие в составе "Группы ГАЗ", Нижний Новогород) в должности мастера дефектного отдела. Преддипломную практику прошел на Ленинградском заводе опытного машиностроения №185 (спроектированную им коробку передач установили на опытном колесно-гусеничном танке Т-29).
В 1934-1937 гг. Михаил Кошкин работал конструктором, заместителем главного конструктора Ленинградского завода опытного машиностроения №185. Участвовал в разработке опытных образцов Т-29 и первого отечественного гусеничного танка с противоснарядным бронированием - среднего танка Т-46-5.
28 декабря 1936 г. приказом наркома тяжелой промышленности Григория (Серго) Орджоникидзе был назначен руководителем танкового конструкторского бюро №190 (КБ-190, впоследствии вошло в состав также руководимого Кошкиным КБ-520) на Харьковском паровозостроительном заводе №183. Возглавлял работы по совершенствованию легкого колесно-гусеничного танка А-20 (БТ-20) и гусеничного танка А-32 (Т-32). В результате работы Михаила Кошкина и его ближайших помощников Александра Морозова и Николая Кучеренко над совершенствованием проекта гусеничного танка А-32 появился танк Т-34 с пушкой калибра 76 мм, принятый на вооружение РККА в декабре 1939 г.
В марте 1940 г. Кошкин в качестве ответственного представителя завода возглавил контрольно-испытательный пробег двух танков Т-34 по маршруту Харьков - Москва - Харьков (750 км в одну сторону). 17 марта 1940 г. в Московском Кремле эти машины были продемонстрированы членам советского правительства во главе с Иосифом Сталиным (Джугашвили). По итогам показа танки рекомендовали к немедленному серийному производству и направили на дополнительные испытания на подмосковном полигоне и на Карельском перешейке. В апреле 1940 г. при возвращении опытных танков на завод одна из машин опрокинулась в воду. Простуженный конструктор помогал вытаскивать танк и сильно промок. В Харькове Михаил Кошкин был госпитализирован с пневмонией, однако продолжал руководить доработкой Т-34.
Несмотря на хирургическое вмешательство (конструктору было удалено легкое), спасти его не удалось. Михаил Кошкин скончался в возрасте 41 года 26 сентября 1940 г. в заводском санатории под Харьковом. Был похоронен на 1-м городском кладбище Харькова (могила утрачена в годы Великой Отечественной войны; в 1970-х гг. на месте кладбища разбит Молодежный парк). Конструкцию башни и пушку Т-34 харьковское бюро дорабатывало под руководством Александра Морозова.
Михаил Кошкин был награжден орденом Красной Звезды (1936, "за отличную работу в области машиностроения").
За разработку конструкции среднего танка Т-34, ставшего по ряду основных показателей лучшим средним танком Второй мировой войны, конструктор в апреле 1942 г. был посмертно удостоен Сталинской премии СССР и ордена Ленина. В 1990 г. указом президента СССР Михаила Горбачева посмертно удостоен почетного звания Героя Социалистического труда.
Конструктор был женат на Вере Николаевне Катаевой. Дочери Елизавета и Татьяна работали преподавателями, Тамара - геологом.