Родился 30 июля 1922 г. в гор. Полтаве (Украинская ССР, ныне Украина). В детские годы занимался в радиокружке полтавского Дворца пионеров, где участвовал в создании механического телеприемника.
В 1946 г. окончил Московский институт инженеров связи (МИИС, ныне Московский технический университет связи и информатики).
Доктор технических наук. Кандидатскую диссертацию защитил в 1959 г. (тема: "Разработка и исследование способов измерения некоторых параметров телевизионного тракта"), докторскую - в 1966 г. Профессор (1968).
В студенческие годы принял участие в техническом обеспечении первой в Европе послевоенной передачи Московского телевизионного центра на Шаболовке, которая состоялась 7 мая 1945 г.
После окончания МИИС поступил на работу в Московский телевизионный центр (МТЦ). С 1947 по 1950 г. возглавлял аппаратно-студийный комплекс телецентра.
В 1946 г. разработал устройство, позволившее впервые получить самое высококачественное в то время телевизионное изображение в 625 строк. 3 сентября 1948 г. впервые вывел в эфир ТВ-программу в этом стандарте. Участвовал в создании первых телевизоров (Т-2).
С 1948 г. сотрудничал с 11-й исследовательской комиссией (телевидение) Международного консультативного комитета по радио (ныне сектор радиосвязи МСЭ-Р) при Международном союзе электросвязи (МСЭ). В 1970-1972 гг. - вице-председатель, в 1972-2000 гг. - и. о. председателя, председатель этой комиссии. С 2000 г. являлся почетным председателем 6-й исследовательской комиссии (вещание) МСЭ-Р.
В 1950 г. был назначен начальником отдела телевидения, УКВ-ЧМ вещания и радиорелейных линий Главного радиоуправления Министерства связи СССР. Занимался разработкой стратегии и внедрением в стране комплекса средств и сети телевещания. В частности, подготовил в 1955-1959 гг. первые проекты строительства нового телевизионного комплекса в Останкино. При непосредственном участии Марка Кривошеева количество телецентров и ТВ-станций в СССР выросло с одного (МТЦ) до сотни (к 1959 г.).
В 1959 г. возглавил отдел телевидения и лаборатории ТВ-измерений Научно-исследовательского института радио (НИИР, Москва). В 1961 г. участвовал в разработке мероприятий по обеспечению прямого ТВ-показа торжественной встречи в Москве первого космонавта планеты Юрия Гагарина, которая транслировалась европейскими станциями сетей "Интервидения" и "Евровидения". Руководил разработкой телевизионного комплекса для спутниковой системы связи "Молния", с помощью которого в 1965 г. впервые была осуществлена передача ТВ-программы из Москвы во Владивосток и обратно. Участвовал в разработке телекомплекса для передачи сигналов программ московских XXII летних Олимпийских игр 1980 г.
С 1996 г. Марк Кривошеев занимал должность главного научного сотрудника НИИР. В течение последних лет являлся научным консультантом института.
15 октября 2018 г. он скончался на 97-м году жизни. Похоронен на кладбище Ракитки в Новомосковском административном округе Москвы.
Марк Кривошеев внес весомый вклад в разработку международных стандартов цифрового интерактивного телевещания, его изобретения признаны на международном уровне. Ученый первым сформулировал стратегию развития цифрового телевидения, предложив передавать сигнал по существующим радиоканалам. По его методологии было разработано более 150 рекомендаций в рамках стандартов цифрового ТВ-вещания, телевидения высокой четкости, электронной кинематографии, многоцелевых интерактивных систем.
Заслуженный деятель науки и техники РСФСР (1984), заслуженный изобретатель РСФСР.
Являлся лауреатом Государственной премии СССР (1981; за создание средств передачи программ Олимпийских игр в Москве), Государственной премии РФ в области науки и техники (2000; "за разработку и внедрение цифровой системы передачи дополнительной информации для сетей общего и специального назначения, система "ТВ-Информ"), премии правительства РФ в области средств массовой информации (2016; "за выдающиеся достижения и разработки, имеющие большое значение для мирового телевидения, в том числе в контексте развития международных стандартов цифрового телевидения и телевидения высокой четкости").
Был награжден орденами Трудового Красного Знамени (1974), Дружбы (1999), "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней (2011, 2006), Почета (2017). Имел благодарность (2002) и почетную грамоту (2013) президента РФ.
Среди его иностранных наград - национальный орден Франции "За заслуги" (1991) и золотой орден "За заслуги" Польши (1992).
Вклад Марка Кривошеева в развитие телевидения был также отмечен медалью прогресса Общества инженеров кино и телевидения (1999), премией ТЭФИ (2002, за вклад в развитие ТВ-вещания; единственный инженер, удостоенный этой премии), национальной премией "Золотой луч" в области спутникового, кабельного и интернет-телевидения (2016). Он являлся обладателем высшей награды Международного союза электросвязи как "выдающийся деятель и ученый, сделавший наибольший вклад в улучшение жизни граждан всего мира с помощью инноваций в области ИКТ" (2015).
Был почетным доктором Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения (2009) и Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича (2011).
Являлся автором и соавтором более 30 книг, 350 статей и докладов, 90 авторских свидетельств на изобретения и отечественных и зарубежных патентов. Труды ученого посвящены ТВ-измерениям, перспективам развития ТВ-вещания, цифровым ТВ-системам и международной стандартизации ТВ-систем. Среди них - "Измерения в телевизионном оборудовании" (1956), "Перспективы развития телевидения" (1982), "Измерение и контроль параметров полного цветного телевизионного сигнала" (1982), "Развитие телевидения в СССР" (1984), "Цветовые измерения" (1990) и др.
В 2019 г. НИИР было присвоено имя Марка Кривошеева.