Родился 20 мая 1992 г. в Санкт-Петербурге.
Студент заочного отделения Национального государственного университета физической культуры, спорта и здоровья им. П. Ф. Лесгафта (Санкт-Петербург).
В 2014 г. в смешанной паре (дабл-миксте) с Викторией Моисеевой выиграл керлинговый чемпионат и Кубок России.
В 2015 г. в составе второй сборной Санкт-Петербурга стал серебряным призером чемпионата России по керлингу среди смешанных команд, в 2016 г. (в составе второй сборной Санкт-Петербурга) и 2017 г. (в составе команды "Санкт-Петербург-1") - обладателем золотых медалей данного турнира. В октябре 2016 г. в Казани в составе сборной России одержал победу на чемпионате мира среди смешанных команд.
С 2015 г. выступает в дабл-миксте с Анастасией Брызгаловой.
В январе 2016 г. в Сочи они стали чемпионами России в дабл-миксте, в апреле того же года в Карлстаде (Швеция) - чемпионами мира.
13 февраля 2018 г. завоевали бронзовую медаль XXIII зимних Олимпийских игр в Пхёнчхане (Республика Корея), в поединке за третье место обыграв команду Норвегии со счетом 8:4. 20 февраля было официально объявлено, что допинг-проба "Б" Александра Крушельницкого дала положительный результат на запрещенный препарат мельдоний. 22 февраля Спортивный арбитражный суд признал спортсмена виновным в нарушении антидопинговых правил. Он и Анастасия Брызгалова были лишены бронзовой медали Олимпиады.
В конце февраля 2018 г. Федерация керлинга России (ФКР) создала комиссию, задачами которой являются реабилитация имени Крушельницкого и доказательство его невиновности в суде через взаимодействие с правоохранительными органами.
11 мая 2018 г. президент ФКР Дмитрий Свищев сообщил, что прокуратура РФ подтвердила невиновность Александра Крушельницкого в нарушении антидопинговых правил. Несмотря на это, 4 декабря 2018 г. Спортивный арбитражный суд принял решение дисквалифицировать Крушельницкого на четырехлетний срок.
Срок дисквалификации отсчитывается с 12 февраля 2018 г. 27 декабря 2018 г. стало известно, что Александр Крушельницкий подал апелляцию на решение КАС. 11 января 2019 г. его агент Андрей Митьков сообщил, что спортсмен решил отказаться от апелляции.
Мастер спорта международного класса (2017).
Женат. Супруга - партнерша по выступлениям в дабл-миксте Анастасия Брызгалова.