Родился 21 сентября 1933 г. в дер. Слепушкино (Наро-Фоминский район Московской области) в семье Федора Егоровича и Анны Леонтьевны Крутиковых. С 1936 г. проживал с родителями в Москве.
В 1970 г. окончил Государственный центральный ордена Ленина институт физической культуры (ныне - Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма, ГЦОЛИФК).
Футбольная карьера
Анатолий Крутиков был воспитанником юношеской футбольной секции "Химик", куда его в начале 1950-х гг. пригласил тренер Василий Проворнов. Первоначально играл на позиции форварда, в 1953 г. выступал за основной состав "Химика" в классе "Б" чемпионата СССР.
В 1954-1958 гг. Анатолий Крутиков играл за ЦДСА/ЦСК МО (ныне - ЦСКА). Тренер Григорий Пинаичев определил его на позицию защитника, на которой футболист выступал на протяжении всей дальнейшей карьеры.
В 1959-1968 гг. представлял московский "Спартак". В его составе стал чемпионом СССР (1962), а также двукратным обладателем Кубка страны (1963, 1965).
В 1959-1964 гг. Анатолий Крутиков выступал за сборную СССР по футболу. В 1960 г. в ее составе стал победителем проходившего во Франции чемпионата Европы. В общей сложности провел за сборную СССР девять матчей.
Тренерская карьера, административная деятельность
Завершив игровую карьеру, в 1969-1973 гг. Анатолий Крутиков работал футбольным тренером в детско-юношеской спортивной школе "Спартак" (Москва).
В 1975 и 1979 гг. был главным тренером нальчикского "Спартака".
В 1976 г. Анатолий Крутиков работал главным тренером московского "Спартака". Под его руководством команда единственный раз в своей истории выбыла из высшего дивизиона.
В 1980 г. возглавлял карагандинский "Шахтер".
В 1981-1988 гг. являлся директором футбольной школы "Спартак" (Московская область).
В 1990-е гг. тренировал клуб ветеранов футбола "Россия".
8 ноября 2019 г. стало известно, что Анатолий Крутиков скончался на 87-м году жизни. Похоронен на Николо-Архангельском кладбище (Московская область).
Заслуженный мастер спорта СССР (1967).
В 1997 г. Анатолий Крутиков был награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени.
Был женат на Людмиле Николаевне Крутиковой. Дочери - Ольга (скончалась в середине 1990-х гг.) и Наталия.