Родился 10 января 1981 г. в пгт Белыничи (с 2016 г. имеет статус города) Могилевской области Белорусской ССР (ныне Республика Белоруссия).
В 2003 г. окончил Белорусский государственный технологический университет (БГТУ), в 2010 г. - Академию управления при президенте Республики Белоруссия.
В 2003 г. поступил в аспирантуру БГТУ и начал работать инженером на кафедре экономики и управления на предприятиях химико-лесного комплекса.
В 2004-2006 гг. работал в Министерстве лесного хозяйства Белоруссии. Был ведущим, затем главным экономистом сектора организации оплаты труда и ценообразования управления экономики и инвестиций.
В 2006-2010 гг. - заместитель начальника управления лесного комплекса главного управления агропромышленного и лесного комплексов, в 2010-2014 гг. - заместитель начальника главного управления агропромышленного и лесного комплексов - начальника управления лесного комплекса Министерства экономики Республики Белоруссия.
В 2014-2017 гг. - заместитель министра, в 2017-2018 гг. - первый заместитель министра экономики Белоруссии.
18 августа 2018 г. возглавил Министерство экономики Республики Белоруссия в правительстве Сергея Румаса. На тот момент 37-летний Дмитрий Крутой стал самым молодым министром в белорусском правительстве.
С 29 ноября 2019 г. по 3 июня 2020 г. занимал должность первого заместителя премьер-министра Белоруссии Сергея Румаса.
4 июня 2020 г. Дмитрий Крутой был назначен заместителем главы Администрации президента Белоруссии (администрацию с 2019 г. возглавляет Игорь Сергеенко).
Занимался разработкой программ по углублению интеграции Союзного государства.
22 июля 2022 г. агентство БелТА сообщило, что президенты России и Белоруссии согласовали вопрос о назначении Дмитрия Крутого новым послом республики в РФ. 1 августа 2022 г. Александр Лукашенко подписал указ о назначении его чрезвычайным и полномочным послом Белоруссии в России и по совместительству полномочным представителем Белоруссии при Экономическом совете Содружества Независимых Государств, специальным представителем Белоруссии по вопросам интеграционного сотрудничества в рамках Союзного государства, ЕАЭС, СНГ и ОДКБ. Этим же указом Крутой был наделен полномочиями заместителя премьер-министра республики по вопросам деятельности Белоруссии в рамках Союзного государства и отношений с Россией. На посту главы дипломатического представительства Дмитрий Крутой сменил Владимира Семашко.