Родился 26 августа 1919 г. в селении Тиб (Алагирский район Северной Осетии). Отец Сергей Тимофеевич Кучиев (1892-1938), участник Гражданской войны, нарком земледелия Северо-Осетинской АССР, был репрессирован. Мать Любовь Васильевна Кучиева (урожденная Хетагурова) - домохозяйка.
В 1938 г. Юрий Кучиев с отличием окончил среднюю школу в г. Орджоникидзе (ныне - Владикавказ). Как сын "врага народа", не смог поступить в высшее учебное заведение или военное училище. Лишь в 1963 г. заочно окончил Ленинградское высшее инженерное училище им. адмирала С. О. Макарова.
В 1941 г. начал службу матросом, помощником кочегара на буксире "Василий Молоков" в порту Диксон (Красноярский край). В 1944 г. окончил курсы штурманов малого плавания, после чего до 1945 г. служил третьим помощником капитана ледокольного парохода "Таймыр". В январе 1945 г. занял должность четвертого помощника капитана ледокола "Ермак".
В дальнейшем работал 3-м, 2-м и старшим помощником капитана ледоколов "Малыгин", "Сибиряков", "Илья Муромец" и "Красин". В 1961-1962 гг. исполнял обязанности капитана ледокола "Красин". Также был капитаном ледоколов "Мурманск" и "Киев", в 1962-1971 гг. - капитаном-дублером атомного ледокола "Ленин".
В июне 1971 г. выполнил особое задание Министерства морского флота СССР по проводке ледокола "Владивосток" от Новой Земли до порта Певек высокими широтами вокруг архипелага Северная Земля.
С 5 июня 1971 г. до 1980 г. - капитан атомного ледокола "Арктика" (головное судно проекта 10520, заложено 3 июля 1971 г., вступило в строй 25 апреля 1975 г.). В 1971-1974 гг. отвечал за формирование и обучение команды атомохода, с 1975 г. занимался проводкой судов по Северному морскому пути. В октябре 1976 г. "Арктика" вывела из ледового плена ледокол "Ермак" с сухогрузом "Капитан Мышевский" и ледокол "Ленинград" с транспортом "Челюскин".
17 августа 1977 г. "Арктика" под командованием Юрия Кучиева стала первым в истории надводным кораблем, достигшим Северного полюса. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 14 сентября 1977 г. наиболее отличившимся участникам этого рейса, включая Юрия Кучиева, было присвоено звание Героя Социалистического Труда.
С 1981 г. проживал в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург). В 1981-1997 гг. входил в спецгруппу Министерства морского флота СССР (затем - РФ), занимавшуюся надзором за проектированием и строительством атомных ледоколов на Балтийском судостроительном заводе.
В 1996 г. указом президента РФ Бориса Ельцина Юрию Кучиеву было установлено дополнительное пожизненное ежемесячное материальное обеспечение "за особые заслуги перед Российской Федерацией".
Скончался 14 декабря 2005 г. Был кремирован. 19 августа 2006 г. прах Юрия Кучиева и его супруги, согласно завещанию, был торжественно предан морю в районе Северного полюса командой атомного ледокола "Ямал".
Герой Социалистического Труда (1977). Был награжден орденами Ленина (1977), Трудового Красного Знамени (1976), Отечественной войны II степени (1985), медалями.
Почетный работник морского флота. Почетный полярник. Почетный капитан атомохода "Арктика". Почетный член Географического общества СССР. Почетный гражданин г. Владикавказа.
Юрий Кучиев был женат на Нинель Константиновне Кучиевой (урожденная Алексеева; 1925-1999). Сыновья - Михаил (физик-теоретик) и Сергей (пилот гражданской авиации), дочь - Татьяна (швея-модельер).