Родился 23 августа 1983 г. в гор. Ленинске (ныне Байконур, Казахстан) в семье инженера-строителя стартовых комплексов на космодроме Байконур. Окончил среднюю школу в подмосковном гор. Королёве.
В 2006 г. в Московском государственном техническом университете (МГТУ) им. Н. Э. Баумана получил специальность "Ракетные двигатели".
В студенческие годы проходил практику в Ракетно-космической корпорации "Энергия" им. С. П. Королева (гор. Королев), куда после окончания МГТУ был принят на работу. С августа 2006 г. был инженером II категории, с декабря 2009 г. - инженером I категории.
26 апреля 2010 г. решением государственной межведомственной комиссии Сергей Кудь-Сверчков был рекомендован к зачислению в отряд космонавтов РКК "Энергия". В 2011 г. вошел в качестве кандидата в космонавты в единый отряд космонавтов Федерального космического агентства (ныне госкорпорация "Роскосмос"), образованный на базе Центра подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина (ЦПК; Звездный городок, Московская обл.).
С октября 2010 г. по июль 2012 г. прошел общекосмическую подготовку в ЦПК. В августе 2012 г. ему была присвоена квалификация "космонавт-испытатель".
С августа 2012 г. Сергей Кудь-Сверчков является космонавтом-испытателем отряда Роскосмоса.
14 октября 2020 г. - 17 апреля 2021 г. совершил свой первый орбитальный полет в качестве бортинженера космического корабля "Союз МС-17" и 64-й основной экспедиции Международной космической станции (МКС). Другими членами экипажа были Сергей Рыжиков (командир экипажа) и американка Кэтлин Рубинс (второй бортинженер). 18 ноября 2020 г. Сергей Кудь-Сверчков выполнил выход в открытый космос, работал за пределами МКС в паре с Сергеем Рыжиковым. Продолжительность полета составила 184 дня 23 часа 10 минут 3 секунды, время выхода в открытый космос - 6 часов 14 минут (данные Роскосмоса).
С мая 2024 г. Сергей Кудь-Сверчков проходил космическую подготовку в составе дублирующего экипажа экспедиции МКС-73.
В апреле 2025 г. приступил к подготовке как командир основного экипажа МКС-74. Полет очередной экспедиции на Международную космическую станцию намечен на 27 ноября 2025 г. Помимо Сергея Кудь-Сверчкова в экипаж входят Сергей Микаев и американский астронавт Кристофер Уильямс. На МКС их доставит корабль "Союз МС-28".
6 ноября 2025 г. заместитель начальника ЦПК, командир отряда космонавтов Олег Кононенко вручил Сергею Кудь-Сверчкову удостоверение специального корреспондента ТАСС. Космонавт стал седьмым спецкором проекта "ТАСС на МКС".
Сергей Кудь-Сверчков удостоен звания Героя Российской Федерации (2022), также ему присвоено почетное звание "Летчик-космонавт Российской Федерации" (2022).