Родился 3 августа 1905 г. в пос. Симский Завод в Уфимской губернии Российской империи (ныне - г. Сим Челябинской обл.). Отец - Василий Алексеевич Курчатов (1869-1941), землемер-землеустроитель, мать - Мария Васильевна Курчатова (1875-1942), учительница. Брат - Игорь Курчатов (1903-1960), советский физик, один из создателей советской атомной бомбы. В 1908 г. вместе с семьей переехал в Симбирск (ныне - Ульяновск), в 1912 г. - в Симферополь (Крым).
В 1921 г. поступил в Таврический университет в Симферополе (правопреемник - Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского). Проучившись два курса, перевелся на химический факультет Казанского университета (ныне - Казанский федеральный университет), который окончил в 1927 г.
Кандидат физико-математических наук (1938), доктор химических наук (1962), профессор (1970).
С 1928 по 1943 г. - младший, затем старший научный сотрудник, заведующий лабораторией (с 1936 г.) Ленинградского физико-технического института (ЛФТИ, ныне - Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе). Работал в институте вместе со страшим братом Игорем Курчатовым, ему принадлежит вся радиохимическая часть первых исследований старшего брата. С 1934 г. участвовал в работах по изучению искусственной радиоактивности, одним из первых использовал химические методы для интерпретации ядерных реакций. В 1935 г. в результате исследований облучения брома нейтронами совместно с Игорем Курчатовым, Львом Мысовским и Львом Русиновым открыл явление ядерной изомерии искусственно радиоактивных ядер. Входил в число первых учеников физика Абрама Иоффе, радиохимика Виталия Хлопина.
В 1943 г. переведен в Москву - в созданную для разработки ядерного оружия Лабораторию №2 АН СССР (с 1956 г. - Институт атомной энергии АН СССР, ИАЭ; ныне - Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт"), которую возглавил Игорь Курчатов. Был членом ученого совета ИАЭ.
Одновременно с работой в Институте атомной энергии, в 1946-1951 гг. заведовал радиохимической лабораторией Научно-исследовательского физического института (ныне - Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына) Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Борис Курчатов занимался исследованиями в области радиохимии, ядерной физики, химии трансурановых элементов и продуктов их деления. Под его руководством были получены первые советские лабораторные (1944) и реакторные (1947) образцы плутония, в 1949-1953 гг. проведены исследования ядерных реакций при высоких энергиях бомбардирующих частиц, ускоренных на синхроциклотроне в Дубне. Работы Бориса Курчатова по химии трансурановых элементов и продуктов деления, аналитические методики и технологические процессы переработки облученного урана нашли широкое применение в отечественной атомной промышленности. В последние годы своей жизни ученый уделял внимание изучению физики деления тяжелых ядер и вопросам радиоэкологии.
Входил в состав экспертной комиссии Высшей аттестационной комиссии, редколлегию журнала "Радиохимия".
Скончался 13 апреля 1972 г. в Москве, похоронен на Новодевичьем кладбище.
Лауреат двух Сталинских (1949, 1953) и Ленинской (1959) премий. Награжден орденом Ленина (1954) и пятью орденами Трудового Красного Знамени (1945, 1949, 1953, 1954, 1956).
Опубликовал более 150 научных работ. Автор 8 изобретений.