Родился 14 сентября 1936 г. в гор. Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). Отец был военно-морским инженером, участником Великой Отечественной войны, мать - секретарем-машинисткой.
Во время Великой Отечественной войны жил с матерью в эвакуации в гор. Сызрань (Куйбышевская обл., ныне Самарская обл.). В 1944 г. вместе с матерью вернулся в Ленинград. Начал писать стихи в восьмилетнем возрасте.
В 1954 г. окончил одну из ленинградских школ с золотой медалью.
В 1959 г. окончил филологический факультет Ленинградского государственного педагогического института им. А.И. Герцена (ЛГПИ; ныне - Российский государственный педагогический университет имени А.И. Герцена).
Первая публикация стихотворений Кушнера состоялась в 1956 г. в коллективном сборнике произведений студентов ЛГПИ. В студенчестве также посещал поэтический кружок при Ленинградском горном институте им. Г.В. Плеханова (ныне - Санкт-Петербургский горный университет).
В 1959-1969 гг. работал учителем русского языка и литературы в одной из ленинградских школ рабочей молодежи.
В 1962 г. опубликовал дебютный поэтический сборник - "Первое впечатление".
В 1965 г. вступил в Союз писателей СССР.
Второй авторский сборник - "Ночной дозор" - вышел в 1966 г.
В конце 1960-х гг. сосредоточился на профессиональной литературной деятельности. Выпустил поэтические сборники "Письмо" (1974), "Прямая речь" (1975), "Голос" (1978), "Таврический сад" (1984), "Живая изгородь" (1988), "Ночная музыка" (1991), "На сумрачной звезде" (1994), "Летучая гряда" (2000), "Холодный май" (2005), "Мелом и углем" (2010), "Вечерний свет" (2013), "Земное притяжение" (2015) и др. В общей сложности является автором около 50 поэтических сборников. Также опубликовал более десяти книг для детей.
Переводил поэтические произведения с английского (Филип Ларкин, Джон Китс, Эдмунд Бланден), персидского (Омар Хайям), азербайджанского (Мамед Исмаил), казахского (Кадыр Мурзалиев), украинского (Павло Мовчан) и латышского (Марис Чаклайс) языков. Также работал в жанре эссеистики.
Основное место в поэзии Кушнера занимают философские, а также нравственные и этические мотивы.
Стихотворения Кушнера переводились на иврит, английский, голландский, итальянский, немецкий, французский, японский, чешский и болгарский языки.
В 1993 г. подписал "Письмо сорока двух" - публичное обращение группы известных литераторов к соотечественникам, также содержавшее призыв в адрес президента и правительства России. Оно заключало в себе требование распустить и запретить "все виды коммунистических и националистических партий, фронтов и объединений", выявить и разогнать "все незаконные военизированные, а тем более вооруженные объединения и группы" и др.
Является членом Русского ПЕН-центра.
Лауреат Государственной премии РФ (1995), литературных премий "Северная Пальмира" (1995) и "Поэт" (2005), Государственной Пушкинской премии (2001) и др.
Женат. Супруга - Елена Невзглядова, филолог и поэт. Имеет сына Евгения от первого брака.