Родилась 27 июня 1985 г. в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) в семье Александра Анатольевича Кузнецова (род. 1941) и Галины Георгиевны Царевой (род. 1950). Ее отец, тренер по велоспорту, подготовил нескольких олимпийских чемпионов. Мать - велогонщица, шестикратная чемпионка мира в спринте. Брат - велогонщик Николай Кузнецов (род. 1973, серебряный призер летней Олимпиады 1996 г. в Атланте в командной гонке преследования).
Светлана Кузнецова начала заниматься теннисом в начале 1990-х гг. в Санкт-Петербурге. Ее первым тренером была Инна Огарева. Впоследствии занималась под руководством Сабины Хачатрян, Максима Монаенкова и других специалистов. В 14 лет переехала в Испанию, где продолжила совершенствовать мастерство в теннисной академии Эмилио Санчеса-Викарио и Серхио Касаля (Барселона).
В 2000 г. Светлана Кузнецова получила профессиональный статус.
В мае 2001 г. дебютировала в турнире Женской теннисной ассоциации (Women's Tennis Association, WTA) в Мадриде (Испания). В первом круге выиграла у испанки Вирхинии Руано-Паскуаль, но во втором уступила американке Лайзе Рэймонд.
В августе 2002 г. завоевала первый одиночный титул в WTA-туре, победив в финале турнира в Эспоо (Финляндия) чешскую спортсменку Денизу Хладкову. В сентябре стала победительницей турнира на о. Бали (Индонезия), обыграв в решающем матче испанку Кончиту Мартинес. Также в течение года выиграла три титула в парном разряде вместе с испанкой Аранчей Санчес-Викарио. По итогам 2002 г. была признана Женской теннисной ассоциацией лучшим новичком сезона.
В сентябре 2004 г. в Нью-Йорке Светлана Кузнецова стала первой россиянкой, выигравшей Открытый чемпионат США. В финале она нанесла поражение соотечественнице Елене Дементьевой.
В ноябре 2004 г., сентябре 2007 г. и сентябре 2008 г. в составе женской национальной сборной становилась обладательницей Кубка Федерации. В финальных матчах россиянки обыгрывали француженок, итальянок и испанок соответственно.
В январе 2005 г. Светлана Кузнецова и австралийка Алисия Молик стали победительницами Открытого чемпионата Австралии (г. Мельбурн) в парном разряде. В решающем матче они нанесли поражение американкам Линдсей Дэвенпорт и Корине Морариу. В январе 2012 г. Светлана Кузнецова вновь стала победительницей этого турнира в парном разряде. Вместе с соотечественницей Верой Звонаревой в финале она обыграла итальянок Сару Эррани и Роберту Винчи.
В июне 2009 г. в Париже Светлана Кузнецова выиграла Открытый чемпионат Франции. В решающем матче она взяла верх над другой россиянкой - Динарой Сафиной.
Последний к настоящему времени титул в женском одиночном разряде в рамках WTA-тура спортсменка завоевала в августе 2018 г. В финале турнира в Вашингтоне (США) она нанесла поражение хорватке Донне Векич.
Последний к настоящему времени титул в парном разряде завоевала в октябре 2013 г. на московском Кубке Кремля. Вместе с австралийкой Самантой Стосур переиграла в решающем матче Аллу Кудрявцеву (Россия) и Анастасию Родионову (Австралия).
В сезоне 2020 г., приостановленном из-за пандемии коронавирусной инфекции, лучшим результатом Светланы Кузнецовой стал выход в полуфинал турнира в Дохе (Катар). 28 февраля на этой стадии она уступила представительнице Белоруссии Арине Соболенко.
В текущем одиночном рейтинге WTA Светлана Кузнецова занимает 32-е место. Высшая строчка в карьере - второе место в сентябре 2007 г.
В общей сложности она выиграла 18 турниров Женской теннисной ассоциации в одиночном разряде и 16 - в парном. На протяжении карьеры заработала более 25 млн долларов призовых.
Заслуженный мастер спорта РФ (2004).