Родился 4 февраля 1933 г. в Москве. Его отец, Владимир Ильич, был доктором химических наук, сотрудником Московского химико-технологического института им. Д. И. Менделеева (ныне Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева). Мать, Дора Захаровна, была специалистом по обучению и воспитанию глухих и слабослышащих детей. После начала Великой Отечественной войны отец ушел на фронт, погиб в 1942 г. Игорь Кваша вместе с матерью в 1941-1943 гг. находился в эвакуации в гор. Ленинске-Кузнецком (Новосибирская область, с 1943 г. - Кемеровская область), после чего вернулся в Москву.
В подростковом возрасте занимался в студии художественного слова при Дворце пионеров и школьников им. Н. К. Крупской в переулке Стопани (ныне Дворец творчества детей и молодежи "На Стопани", переулок Огородная Слобода).
В 1955 г. Игорь Кваша окончил актерский факультет Школы-студии им. Вл. И. Немировича-Данченко при Московском художественном академическом театре СССР им. М. Горького (ныне Школа-студия, институт, им. Вл. И. Немировича-Данченко при Московском художественном театре им. А. П. Чехова). Выпускник курса заслуженного артиста РСФСР Александра Карева.
Работа в театре
В 1955-1957 гг. Игорь Кваша служил в Московском художественном академическом театре СССР им. М. Горького.
В апреле 1956 г. вместе с группой выпускников Школы-студии МХАТ (Галина Волчек, Олег Ефремов, Евгений Евстигнеев, Олег Табаков и др.) организовал "Студию молодых актеров" (с 1958 г. - театр-студия "Современник" при МХАТ, с 1965 г. - театр "Современник"). Был актером "Современника" на протяжении всей театральной карьеры - до 2012 г. Участвовал в постановках: "В поисках радости", "Традиционный сбор" и "Вечно живые" по произведениям Виктора Розова, "Пятая колонна" по пьесе Эрнеста Хемингуэя, "Старшая сестра" по произведению Александра Володина, "Сирано де Бержерак" по драме Эдмона Ростана, "Большевики" по пьесе Михаила Шатрова, "На дне" по произведению Максима Горького, "Вишневый сад" и "Три сестры" по пьесам Антона Чехова, "Крутой маршрут" по произведению Евгении Гинзбург, "Виндзорские насмешницы" по комедии Уильяма Шекспира.
В качестве режиссера Игорь Кваша поставил в "Современнике" спектакли "Кабала святош" и "Дни Турбиных" по произведениям Михаила Булгакова, "Кот домашний средней пушистости" по пьесе Владимира Войновича и Григория Горина, "Балалайкин и Ко" по роману Михаила Салтыкова-Щедрина "Современная идиллия", "А вам не хотится ль под ручку пройтиться?.." по сочинениям русских поэтов.
Работа в кино
Игорь Кваша дебютировал в кино в 1961 г., исполнив роль Тавризяна в фильме "Сержант Фетисов" (режиссер Александр Разумный). Среди его киноработ: атаман Лагутин в приключенческой картине "Достояние республики" (1971, Владимир Бычков), Эмиль Тавернье в музыкальной комедии "Соломенная шляпка" по мотивам водевиля Эжена Лабиша (1974, Леонид Квинихидзе), полковник Вячеслав Климов в детективе "Сыщик" (1979, Владимир Фокин), пастор в комедии "Человек с бульвара Капуцинов" (1987, Алла Сурикова), советский лидер Иосиф Сталин в сериале "В круге первом" по роману Александра Солженицына (2006, Глеб Панфилов). Последняя роль - писатель Илья Эренбург в историко-документальном фильме "Глаз Божий" (2012, Иван Скворцов и Сергей Нурмамед). В общей сложности актер снялся в более чем 50 фильмах и сериалах.
Работа на телевидении, книга
В 1998-2012 гг. Игорь Кваша был одним из ведущих телепрограммы "Жди меня" (до 2000 г. носила название "Ищу тебя"). В течение этих лет передача последовательно выходила на РТР, ОРТ и Первом канале, ныне ее показ ведет канал НТВ.
В 2008 г. был ведущим документального телевизионного цикла "Невероятные истории про жизнь" (Первый канал).
В 2007 г. опубликовал книгу мемуаров "Точка возврата".
Звания, награды
Народный артист РСФСР (1978).
Игорь Кваша был награжден орденами Дружбы (1995) и "За заслуги перед Отечеством" III степени (2006). Отмечен благодарностью президента РФ (2008).
Лауреат российской национальной актерской премии им. Андрея Миронова "Фигаро" (2012).
Кончина
Игорь Кваша скончался 30 августа 2012 г. в Москве на 80-м году жизни. Похоронен на Троекуровском кладбище.
Личные сведения
Был дважды женат. Первая супруга - народная артистка РСФСР Светлана Мизери (1933-2021). Второй женой была кандидат медицинских наук Татьяна Путиевская (1935-2015). Сын - Владимир (род. 1957).
Фильмы об Игоре Кваше
Жизни и творчеству актера посвящены документальные фильмы "Игорь Кваша. Против течения" (2013, режиссер Марина Забелина), "Игорь Кваша. Личная боль" (2013, Руслан Трещёв) и "Дар сердечный" (2018, Руслан Трещёв).