Родился 23 июня 1969 г. в с. Кутол Очамчирского района Абхазской АССР (ныне Республика Абхазия).
Учился в сухумской средней школе №10 им. Нестора Лакоба.
В 1992 г. окончил Грузинский институт субтропического хозяйства (ныне Грузинский государственный университет субтропического хозяйства, до 1991 г. располагался в Сухуме) по специальности "ученый-агроном".
В 1986-1988 гг., по окончании школы, работал лаборантом Киндской чайной фабрики.
В 1988-1990 гг. проходил срочную службу в Вооруженных силах СССР.
С 1990 по 2005 г. - технолог на Киндской чайной фабрике.
Во время грузино-абхазского конфликта 1992-1993 гг. воевал в составе Сухумского батальона.
В 2005-2014 гг. занимал должность заместителя главы администрации г. Сухума.
С 2013 по 2015 г. был сопредседателем партии "Амцахара" ("Родовые огни"), с октября 2015 г. по апрель 2020 г. – председатель партии.
10 июля 2019 г. партия "Амцахара" выдвинула Алхаса Квициниа на пост президента Республики Абхазия. По заявлению предвыборного штаба Квициниа, он является единственным кандидатом от объединенной оппозиции. Его поддерживает Общенациональное движение по защите государственности, куда входят партии "Амцахара" и "Единая Абхазия", ряд общественных организаций и фондов.
25 августа 2019 г. в первом туре выборов главы Абхазии занял второе место с результатом 22,91% голосов, уступив действующему президенту республики Раулю Хаджимбе (24,83%).
Во втором туре 8 сентября 2019 г. уступил Раулю Хаджимбе (47,39%), получив 46,17% голосов избирателей.
24 апреля 2020 г. назначен руководителем Администрации президента Республики Абхазия Аслана Бжании. 12 августа 2022 г. Аслан Бжания своим указом освободил Алхаса Квициниа от должности руководителя Администрации президента на основании личного заявления.
30 ноября 2022 г. назначен послом Абхазии в России (вручил верительные грамоты президенту РФ Владимиру Путину 5 апреля 2023 г.).
Имеет дипломатический ранг чрезвычайного и полномочного посла (2023).
Алхас Квициниа награжден медалью "За отвагу" (Абхазия; 1995).
Женат, трое детей. Супруга - Мэри Вахтанговна Эмухвари (род. 1972). Сын Эснат (род. 2005), дочери – Сати (род. 2002) и Сария (род. 2011).